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1、精选优质文档-倾情为你奉上实变函数期末考试试题汇编目录实变函数期末考试模拟试题（一）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ） （A） （B） （C） （D）2、若是开集，则（ B ）（A） （B）的内部 （C） （D）3、设是康托集，则（ C ）（A）是可数集 （B）是开集 （C） （D）4、设是中的可测集，是上的简单函数，则（ D ）（A）是上的连续函数 （B）是上的单调函数（C）在上一定不可积 （D）是上的可测函数5、设是中的可测集，为上的可测函数，若，则（ A ）（A）在上，不一定恒为零 （B）在上， （C）在上， （D）在上， 二、多项选择题（每题至少有两个或两
2、个以上的正确答案）1、设是中的无理点全体，则（C、D）（A）是可数集 （B）是闭集 （C）中的每一点都是聚点 （D）2、若至少有一个内点，则（ B、D ）（A）可以等于零 （B） （C）可能是可数集 （D）是不可数集3、设是可测集，则的特征函数是 （A、B、C ）（A）上的简单函数 （B）上的可测函数 （C）上的连续函数 （D）上的连续函数4、设在可测集上可积，则（ B、D ）（A）和有且仅有一个在上可积 （B）和都在上可积（C）在上不一定可积 （D）在上一定可积5、设是的单调函数，则（ A、C、D）（A）是的有界变差函数 （B）是的绝对连续函数（C）在上几乎处处连续 （D）在上几乎处处可导三
3、、填空题（将正确的答案填在横线上）1、设为全集，为的两个子集，则 。2、设，如果满足，则是 闭 集。3、若开区间是直线上开集的一个构成区间，则满足、。4、设是无限集，则的基数 （其中表示可数基数）。5、设，为可测集，则。6、设是定义在可测集上的实函数，若对任意实数，都有是 可测集 ，则称是可测集上的可测函数。7、设是的内点，则。8、设函数列为可测集上的可测函数列，且，则由黎斯定理可得，存在的子列，使得。9、设是上的可测函数，则在上的积分不一定存在，且在上 不一定 可积。10、若是上的绝对连续函数，则一定 是 上的有界变差函数。四、判断题（正确的打“”，错误的打“”）1、可列（数）个闭集的并集仍
4、为闭集。 （ ）2、任何无限集均含有一个可数子集。 （ ）3、设是可测集，则一定存在型集，使得，且。（ ）4、设是零测集，是上的实函数，则不一定是上的可测函数。（ ）5、设是可测集上的非负可测函数，则必在上可积。 （ ）五、简答题1、简述无穷多个开集的交集是否必为开集？答：不一定为开集。例如 取上一列开集为，而是闭集，不是开集。2、可测集上的可测函数与简单函数有何关系？答：简单函数是可测函数；可测函数不一定是简单函数；可测函数一定可以表示成一列简单函数的极限。3、上的有界变差函数与单调函数有何关系？答：单调函数是有界变差函数；有界变差函数不一定是单调函数，但一定可以表示成单调函数的和或差。六、
5、计算题1、设，其中是有理数集，求。解： 因为，所以于，于是2、求。解： 因为而 所以，由控制收敛定理七、证明题1、证明集合等式：证明： （方法1）对任意，有且，即或且所以 或，即。反之，对任意，有或，即或且，所以且，即，综上所述，。（方法2）。2、设是中的有理点全体，则是可测集且。证明： 因为是可数集，则对任意，取开区间，显然它们把覆盖住。于是 。让得，从而是可测集且。3、证明：上的实值连续函数必为上的可测函数。证明：因为对于任意实数，由连续函数的局部保号性易知，是开集，从而是可测集。所以必为上的可测函数。4、设是可测集上的可积函数，为的一列可测子集，如果，则。证明：因为且，所以从而由题设 又
6、在上的可积，且 所以由积分的绝对连续性得即。5、设是可测集上的可积函数，为中的一列递增可测子集，。证明：记，其中显然在上，且于是由勒贝格控制收敛定理即可的结论。实变函数期末考试模拟试题（二）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ）（A） （B） （C） （D）2、若是闭集，则（ B ）（A）的内部 （B） （C） （D）3、设是有理数集，则（ C ）（A） （B）是闭集 （C） （D）是不可数集4、设为上的连续函数，为任意实数，则（ D ）（A）是开集 （B）是开集（C）是闭集 （D）是开集5、 设是中的可测集，都是上的可测函数，若，则（ A ）（A）于 （B）在上，
7、（C）在上， （D）在上，二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、设是中的有理点全体，则（C、D）（A）是闭集 （B）中的每一点都是内点 （C）是可数集 （D）2、若的外测度为零，则（ B、D ）（A）一定是可数集 （B）一定是可测集 （C）不一定是可数集 （D） 3、设，函数列为上几乎处处有限的可测函数列，为上几乎处处有限的可测函数，若，则下列哪些结论不一定成立（A、B、C、D）（A）存在 （B）在上可积 （C） （D） 4、若在可测集上有积分值，则（A、C ）（A）和中至少有一个在上可积 （B）和都在上可积（C）在上也有积分值 （D）在上一定可积5、设是的绝对连续函数，则（
8、 A、B、C ）（A）是上的连续函数 （B）是上的一致连续函数（C）是上的有界变差函数 （D）在上处处可导三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、 设，是两个集合，则 2、设，如果满足，则是 开 集。3、设为直线上的开集，若开区间满足和 ，则 必为的 构成 区间。4、设是偶数集，则则的基数 （其中表示可数基数）。5、设，为可数集，且，则。6、设是可测集上的可测函数，则对任意实数，（），都有是 可测集 。7、若是可数集，则。8、设函数列为可测集上的可测函数列，是上的可测函数，如果，则 不一定成立 。9、设是上的非负可测函数，则在上的积分的值 一定存在 。10、若是上的有界变差函数，则必可表示成两
9、个 递增函数的差（或递减函数的差） 。四、判断题（正确的打“”，错误的打“”）1、可列（数）个开集的交集仍为开集。 （ ）2、任何无限集均都是可数集。 （ ）3、设是可测集，则一定存在型集，使得，且。（ ）4、设是可测集，则是上的可测函数对任意实数，都有是可测集。 （ ）5、设是可测集上的可测函数，则一定存在。 （ ）五、简答题1、简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？答：不一定为闭集。例如 取上一列闭集为，而是开集，不是闭集。2、可测集上的可测函数与连续函数有何关系？答：连续函数是可测函数；可测函数不一定连续；可测函数在上是“基本上”连续的。3、上的绝对连续函数与有界变差函数有何关系？答：绝对
10、连续函数是有界变差函数；有界变差函数不一定是绝对连续函数。六、计算题1、设，其中是康托集，求。解：因为，所以于，于是再由积分与积分的关系得。2、设，求。解：因为，而所以，由控制收敛定理七、证明题1、证明集合等式：证明：（方法1）对任意，有且，即且，所以 且，即。反之，对任意，有且，即且，所以且，即，综上所述，。（方法2）。2、设，且，则是可测集。证明： 对任意，显然又（因为），从而所以（因为）所以，即是可测集。3、证明：上的单调函数必为上的可测函数。证明：不妨设是单调递增函数，对于任意实数，记，由于是单调递增函数，显然是可测集。所以必为上的可测函数。4、设是可测集上的可测函数，则在上可积在上可
11、积。证明：必要性：因为在上可积，则和而，所以，即在上可积。充分性：因为，且，则 ，。所以在上可积。5、设可测集上的非负可测函数列，且（）， 存在使得，记，则在上勒贝格可积，且。证明：不妨设，由题设注意到单调递减可得，且在上恒有，于是，由勒贝格控制收敛定理得，在上勒贝格可积，且。6、 设，为上几乎处处有界的可测函数列，证明：在上的充要条件是。证明：先证。事实上，由对任意，再结合依测度收敛的定义即可得上面的结论。下面证明本题的结论。必要性：因可得，于是，当时，有因此，当时，并注意到和可得所以。充分性：对任意，由可得 ，从而。实变函数期末考试模拟试题（三）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关
12、系成立的是（ A ） （A） （B）（C） （D）2、若是孤立点集，则（ B ）（A） （B） （C）的内部 （D）3、设是上的无理数集，则（ C ）（A）是可数集 （B）是开集 （C）是不可数集 （D）4、设是上的单调函数，则（ D ）（A）在上连续 （B）在中的不连续点有不可数个（C）在上一定不可积 （D）是上的可测函数5、设是中的可测集，为上的可测函数，若，则（ A ）（A），在上几乎处处为零 （B）在上， （C）在上， （D） 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、设是上康托集，则（B、C）（A）是可数集 （B）是闭集 （C）中的每一点都是聚点 （D）2、若至少有一个聚点，则（C、D ）（A） （B） （C）可能是可数集 （D）可能是不可数集3、设是不可测集，则的特征函数是 （C、D
