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1、x22 : （ ）x0，即函数极2Xi, X，大值点大值点f （x）的X0，且大值专题02：极值点偏移问题利一极值点偏移判定定理、极值点偏移的判定定理对于可导函数y = f（x），在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点X），方程f（x） = 0的解分别为且 a : x1 : x2 : b，（1）若 f （xj ： f （2x0x2），则却 x2 : （ ）x0，即函数 y = f （x）在区间（x“ x2）上极（小） 2xo右（左）偏；（2 ）若 f （xj f （2x0x2），则 x ?X2 （：）x0，即函数 y 二 f （x）在区间（x“ x2）上极（小）xo右（左）偏证明：（1）因为
2、对于可导函数 y = f （x），在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点 怡，则函数单调递增（减）区间为（a,x），单调递减（增）区间为 （x,b），由于a .禺：X2 : b，有为：:2x -X2 ”：X0，又 f (xj ： f (2x - X2)，故 Xi： ( J2x - X2，所以点X）右（左）偏；（2）证明略左快右慢(极值点左偏二m ：空 空)2Xp + x2左慢右快(极值点右偏二m -12 )2二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：(1) 求出函数f (x)的极值点X)；(2) 构造一元差函数 f (x)二 f (x0 - x)f (x0x)；(3) 确 定函数F(
3、x)的单调性；(4) 结合F (0) = 0，判断F (x)的符号，从而确定f (x0 x)、f (x - x)的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随2、抽化模型答题模板：若已知函数f (x)满足f(xj= f (x2)， x0为函数f (x)的极值点，求证：xP x： 2x0.(1 )讨论函数f(X)的单调性并求出f (x)的极值点x0 ；假设此处f (x)在(-：，冷)上单调递减，在(x0,v)上单调递增(2)构造 F (x) = f (x x) - f (x0 - x)；注：此处根 据题意需要还可以构造成 F (x)二f (x) - f (2x0
4、 - x)的形式.(3 )通过求导F(x)讨论F(x)的单调性，判断出F(x)在某段区间上的正负，并得出f (x, x)与f(x0-x) 的大小关系；假设此处F(x)在(0：)上单调递增，那么我们便可得出F(x) F(xJ = f(x0) - f (x0) =0，从而得到：X X0 时，f (X0 X)f (X0 -X).(4)不妨设 为：X0 : X2，通过f (x)的单调性，f(Xj = f (x2)， f (Xd X)与f(X()-X)的大小关系得出 结论；接上述情况，由于 x x0时，f (x0 x) f (x0 -x)且Xf ： x0 ：x2， f (xj = f (x2)，故f(X
5、i) =f(X2)= fXo (X2 -Xo)f Xo -(X2-Xo) = f(2Xo -X2)，又因为Xi： x， 2Xo -X2Xo 且f (x)在(-3,x0)上单调递减，从而得到 xf ： 2x -x2，从而x., x2 ”： 2x0得证.(5 )若要证明f(宁八0，还需进一步讨论 宁与X0的大小，得出 宁所在的单调区间，从 而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证此处只需继续证明：因为x-! x2 : 2x0，故人2%2 :： x0，由于f (x)在(_,x0)上单调递减，故f(j)Q2【说明】(1 )此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；(2)此类题目若
6、试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求f (x)的单调性、极值点，证明 f (xd - x)与f(Xo -X)(或f (x)与f (2xo -X)的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如Xi - X2 :： 2Xo或f(x1 X2) 0, .F(x)在(Q+oc)上单调递醫 又F(O)=Of AF(x)Of 即/a+x)/U-X)T* 西 H f 不妨设 P u 花 f 由1彳X /1-(-1)1 = fQ-切-t x21，二 2 -x2 ”： 1, f (x)在(一Vi)上单调递增，x-! 2 - x2，二 x-! x22.4i函数 f(x)=x4 x3 与直线 y =a(a )交于 A
7、a)、B(x2,a)两点.33证明：Xi x2 : 2.4【解析】设可 花，国数/(X)=X4-V的单调递碱区间为(Y)*单调递増区间再(匕乜)，有可 1设 *(1 十对-/(1-x), K(x) = 8(3.y:-2.v + 1)0,故F(x)单调递増区间为(yc汁，又F=0,和莒 Q0时，F(x)F(0) = 0,即兀0时，/(l + x)/(l-x),/(2-x2),又 Xj 12-可 1,又的数/(x)=甘一亍F单调递减区间为(一花1), 所人珂2眄：艮卩x+x 2.2已知函数 f (x) In x，若 = x2，且 f (xj = f (x2)，证明：x1 x2 4.x2【解析】由函
8、数f(x) In x单调性可知：若f (xj = f (x2)，则必有 2 x2。x所以 4 -Xi 2，而 f (xi) - f (4 - Xi)=2 2In XiIn(4 - Xi)，x14 一 x In(4 x)，则2 2令 h(x)Inx 4 x2 2h(x) 一 2 一(4)2x (4 x)20x2(4 -x)2i i _ -2(4-x)2 -2x2 x(4-x)2 x2(4-x) x 4-x_x2(4-x)2所以函数h(x)在(0,2)为减函数，所以h(x) h(2)=0 , 所以 f (xj - f (4 -xj 0 即 f (为)f (4 -%)，所以 f(x2) f (4 -
9、x2)，所以 x(叼要证不等式成立，只需证当可1吃时原不等式 成立即可一令F(x) = /(l-x)-/(l+x),则尸(场=刈尸-尸)，当“0时,F (x)0./.F(x)F(0) = 0.gp/(l-x)/(l+A：)令x=i吗，则f(耳)=/ji_ii_珂)1 丘f( 1+【1 _一珂 11=/(2-码)=而心2-西亡(1+8),且/(工)在卩如)上递增,故花 U2- 坷，即 4-Xj 2.四、招式演练已知函数g x =ex x2，其中a R, e =2.71828|为自然对数的底数，f x是g x的导函数.(I)求f x的极值；(n)若 a = -1，证明：当为=x2，且 f % 二
10、f x2 时，x 0 【答案】(1)当a _0时，f x无极值；当a 0时，f x有极小值f In -a = -a aln -a ;(2)详见解析【解析】(I)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；(n)求出函数 f (x)的导数，设函数 F (x) =f (x)- f (- x),求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可.试题解析：(I) f x = x = ex ax 的定义域为 1： , f x = ex a当a0时，f x 0在：时成立，.f x 在-:：，r 上单调递增，f x无极值当 a ： 0 时， f x 二 ex a = 0 解得
11、x = In -a ,由x : 0 得 x ： In -a ；由 f x 0 得x In -a，所以f x在：,ln -a 上单调递减，在In -a ,二 上单调递增， 故f x有极小值f In -a = -a aIn -a .(n)当 a = T 时，f x 二 ex -x 的定义域为y, f x = ex -1,由x二ex -1 = 0，解得x =0.当x变化时， x , f x变化情况如 下表:x(-,0 )0（0,代）(x)0+f (x)单调递减极小值单调递增 X式X?，且f (Xi )= f (x2 )，贝 y 花 0 V X2（不妨设M C X2设函数=-x-|+ x) = Ee二
12、)宀2e?x0a寸,0lf二当xo.二函数巩工)在(to.o)上单调递増F(jc)F(0) = 0/ 即当龙 寸,f(x)f(rx)./jq 0,v/（x）在（a+x）上单调递増g比，目0弋一勺2已知函数f x =lnx-ax，其中a R（1）若函数f x有两个零点，求a的取值范围;1x x2 4a.（2）若函数f x有极大值为，且方程f xjum的两根为为公2，且xi x2，证明:21【答案】（1） 0 : a ; （ 2）见解析.2e【解析】试题分折：（1）先求fix）,利用导数研究函数的单调性，只需令/（对的极大值为2）结合（1儿由/（Q的极大倩求得口二:F（x） = /（x）-/（2-x）的单调性，可得/（叩0）XX（1 ）当a_0时，f x 0函数f x在0, :上单调递增，不可能有两个零点(2)当 a 0时，f x =0,x =x隔厂（X）+0-f（X）极大值1f x的极大值为f二 In2因为 f e =ln e -aea - -a-aea ：0，所以存在显然当x-:时，个零点；所以当Ovx丄时，函数/（x）有两个零点.2e（2）由（1）可知，当a0时,心的极大值为偃卜隠H t，x 2-x令 F(x)=/(x) -/(2 x)F(x) = f(x) +八2-刈=
