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1、精选数学优质资料精品数学文档4.3平面坐标系中几种常见变换43.1平面直角坐标系中的平移变换课标解读1.理解平移的意义，深刻认识一个平移就对应一个向量2.掌握平移公式，并能熟练运用平移公式简化函数的解析式.1平移在平面内，将图形F上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F的平移，若以向量a表示移动的方向和长度，也称图形F按向量a平移2平移变换公式设P(x，y)，向量a(h，k)，平移后的对应点P(x，y)，则(x，y)(h，k)(x，y)或1求平移后曲线的方程的步骤是什么？【提示】步骤：(1)设平移前曲线上一点P的坐标为(x，y)，平移后的曲线上对应点P的坐标为(x，y)；(2)写出变换
2、公式并转化为(3)利用上述公式将原方程中的x，y代换；(4)按习惯，将所得方程中的x，y分别替换为x，y，即得所求曲线的方程2在图形平移过程中，每一点都是按照同一方向移动同样的长度，你是如何理解的？【提示】其一，平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征，因此，从向量的角度看，一个平移就是一个向量其二，由于图形可以看成点的集合，故认识图形的平移，就其本质来讲，就是要分析图形上点的平移.平移变换公式的应用点M(8，10)按a平移后的对应点M的坐标为(7,4)，求a.【自主解答】由平移公式得解得即a(15,14)把点A(2,1)按a(3,2)平移，求对应点A的坐标(x，y)【解】由平移公
3、式得即对应点A的坐标(1,3)平移变换公式在圆锥曲线中的应用求双曲线4x29y216x54y290的中心坐标、顶点坐标、焦点坐标与对称轴方程、准线方程和渐近线方程【思路探究】把双曲线方程化为标准方程求解【自主解答】将方程按x，y分别配方成4(x2)29(y3)236，即1.令方程可化为1.双曲线1的中心坐标为(0,0)，顶点坐标为(0,2)和(0，2)，焦点坐标为(0，)和(0，)，对称轴方程为x0，y0，准线方程为y，渐近线方程为0.根据公式可得所求双曲线的中心坐标为(2,3)，顶点坐标为(2,5)和(2,1)，焦点坐标为(2,3)和(2,3)，对称轴方程为x2，y3，准线方程为y3，渐近线
4、方程为0，即2x3y130和2x3y50.几何量a，b，c，e，p决定了圆锥曲线的几何形状，它们的值与圆锥曲线的位置无关，我们将其称为位置不变量已知抛物线yx24x7.(1)求抛物线顶点的坐标；(2)求将这条抛物线平移到顶点与坐标原点重合时的函数解析式【解】(1)设抛物线yx24x7的顶点O的坐标为(h，k)，那么 h2，k3，即这条抛物线的顶点O的坐标为(2,3)(2)将抛物线yx24x7平移，使点O(2,3)与点O(0,0)重合，这种图形的变换可以看做是将其按向量平移得到的，设的坐标为(m，n)，那么所以抛物线按(2，3)平移，平移后的方程为yx2.(教材第40页习题4.3第3题)写出抛物
5、线y28x按向量(2,1)平移后的抛物线方程和准线方程(2013无锡质检)将函数y2x的图象l按a(0,3)平移到l，求l的函数解析式【命题意图】本题主要考查平面直角坐标系中平移公式的运用【解】设P(x，y)为l的任意一点，它在l上的对应点P(x，y)由平移公式得将它们代入y2x中得到y32x，即函数的解析式为y2x3.1将点P(7,0)按向量a平移，得到对应点A(11,5)，则a_.【答案】(4,5)2直线l：3x2y120按向量a(2，3)平移后的方程是_【答案】3x2y03曲线x2y22x2y10的中心坐标是_【解析】配方，得(x1)2(y1)21.【答案】(1，1)4开口向上，顶点是(
6、3,2)，焦点到顶点距离是1的抛物线方程是_【解析】开口向上，焦点到顶点距离是1的抛物线的标准方程是x24y，所以所求抛物线的方程是(x3)24(y2)【答案】(x3)24(y2)1已知函数yx2图象F按平移向量a(2,3)平移到F的位置，求图象F的函数表达式【解】在曲线F上任取一点P(x，y)，设F上的对应点为P(x，y)，则xx2，yy3，xx2，yy3.将上式代入方程yx2，得：y3(x2)2，y(x2)23，即图象F的函数表达式为y(x2)23.2求椭圆4x29y224x18y90的中心坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、离心率及准线方程【解】因椭圆方程可化为1，其中心为(3,1)，焦点坐
7、标为(3，1)，长轴长为6，短轴长为4，离心率为，准线方程为x3.3圆x2y225按向量a平移后的方程是x2y22x4y200，求过点(3,4)的圆x2y225的切线按向量a平移后的方程【解】由题意可知a(1，2)，因为平移前过点(3,4)的圆x2y225的切线方程为3x4y25，所以平移后的切线方程为3(x1)4(y2)25，即3x4y200.4已知两个点P(1,2)、P(2,10)和向量a(3,12)回答下列问题：(1)把点P按向量a平移，求对应点的坐标；(2)把某一点按向量a平移得到对应点P，求这个点的坐标；(3)点P按某一向量平移，得到的对应点是P，求这个向量的坐标【解】(1)平移公式
8、为由x1，y2，解得x2，y14，即所求的对应点的坐标为(2,14)(2)平移公式为由x2，y10，解得x5，y2，即所求点的坐标为(5，2)(3)平移公式为由x1，y2，x2，y10，解得h1，k8，所以所求的向量的坐标为(1,8)5将二次函数yx2的图象按向量a平移后得到的图象与一次函数y2x5的图象只有一个公共点(3,1)，求向量a的坐标【解】设a(h，k)，所以yx2平移后的解析式为yk(xh)2，即yx22hxh2k与直线y2x5只有一个公共点，则直线为抛物线在(3,1)处的切线，由导数知识，知yx22hxh2k在(3,1)处切线的斜率为62h，从而62h2，h2.又点(3,1)在y
9、k(xh)2上，解得k0，所以向量a的坐标为(2,0)6抛物线yx24x7按向量a平移后，得到抛物线的方程是yx2.求向量a及平移前抛物线的焦点坐标【解】抛物线方程可化为y3(x2)2，平移后的抛物线方程为yx2，所以a(2，3)，因为yx2的焦点坐标为(0，)，所以平移前抛物线的焦点坐标为(02，3)，即(2，)7已知双曲线的渐近线方程为4x3y90与4x3y150，一条准线的方程为y，求此双曲线的方程【解】两渐近线的交点即双曲线中心，故由解得交点为(3,1)，即中心为(3,1)又一条准线方程为y，说明焦点所在的对称轴平行于y轴，所以可设双曲线方程为1，它的渐近线方程可写成0，准线方程为y1
10、，而已知渐近线方程为4x3y90，即4(x3)3(y1)0，另一条渐近线方程为4x3y150，即4(x3)3(y1)0，合并即为0.对照，得.而已知准线方程y，即y1.对照，得.由，解得a4，b3，c5.故所求双曲线方程为1.教师备选8已知抛物线yx24x8，(1)求将这条抛物线的顶点平移到点(3，2)时的抛物线方程；(2)将此抛物线按怎样的向量a平移，能使平移后的方程是yx2?【解】(1)将抛物线yx24x8配方，得y(x2)212，故抛物线顶点的坐标为P(2，12)，将点(2，12)移到(3，2)时，其平移向量a(1,10)，于是平移公式为即因为点(x，y)在抛物线yx24x8上，所以y1
11、0(x1)24(x1)8，即yx26x7.所以平移后的方程为yx26x7.(2)法一设平移向量a(h，k)，则平移公式为将其代入yx24x8，得yk(xh)24(xh)8，化简整理，得yx2(2h4)xh24hk8.令解得此时yx2.所以当图象按向量a(2,12)平移时，可使函数的解析式化为yx2.法二将抛物线yx24x8，即y12(x2)2平移到yx2.只需要作变换所以平移对应的向量坐标为(2,12)43.2平面直角坐标系中的伸缩变换课标解读1.了解平面直角坐标系中的伸缩变换，能运用伸缩变化进行简单的变换2.体会平面直角坐标系中的伸缩变换给图形带来的变化.1横坐标的伸缩变换一般地，由(k0)
12、所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k向着y轴的伸缩变换(当k1时，表示伸长；当0k1时，表示压缩)，即曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k倍(这里(x，y)是变换前的点，(x，y)是变换后的点)2纵坐标的伸缩变换一般地，由(k0)所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k向着x轴的伸缩变换(当k1时，表示伸长；当0k1时，表示压缩)，即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的k倍(这里(x，y)是变换前的点，(x，y)是变换后的点)3伸缩变换一般地，设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称为伸缩
13、变换1如果x轴的单位长度保持不变，y轴的单位长度缩小为原来的，圆x2y24的图形变为什么图形？伸缩变换可以改变图形的形状吗？那平移变换呢？【提示】x2y24的图形变为椭圆：y21.伸缩变换可以改变图形的形状，但平移变换仅改变位置，不改变它的形状2如何理解平面直角坐标系中的伸缩变换？【提示】在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响其特点是坐标系和图形发生了改变，而图形对应的方程不发生变化如在下列平面直角坐标系中，分别作出f(x，y)0的图形：(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍；(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的.第(1)种坐标系中的意思是x轴与y轴上的单位长度一样，f(x，y)0的图形就是我们以前学过的平面直角坐标系中的f(x，y)0的图形；第(2)种坐标系中的意思是如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，此时f(x，y)0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是不同的；第(3)种坐标系中的意思是如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，此时f(x，y)0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是不同的伸缩变换对下列曲线进行伸缩变换
