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1、LUOYANG NORMAL UNIVERSITY2016 届 本科毕业论文浅谈灵敏度分析在企业生产组织计划中的应用院（系）名称数学科学学院专业名称统计学学生姓名田舒亚学号120444056指导教师ri完成时间2016.5浅谈灵敏度分析在企业生产计划中的应用田舒亚数学科学学院 统计学 学号：120444056指导老师：摘要：灵敏度分析是研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数 或周围条件变化的敏感程度的方法。在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究 原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。通过灵敏度分析还可以决定哪些 参数对系统或模型有较大的影响。因此，灵敏度分析几乎在所有的运筹
2、学方法中 以及在各种方案进行评价时都是很重要的。本文通过灵敏度分析，用定量的方法为企业制定合理的生产计划，进行资 源优化配置，以期使企业利润达到最大。 关键词：线性规划，灵敏度分析，生产计划；1.引言 灵敏度分析是线性规划的进一步深化，也是进一步制定生产计划的科学方 法，也是使企业获得最大经济效益的有效手段。那么如何把最优方法用到计划工 作中去，制定最优的生产计划？首先我们要把公司看做一个系统，所谓系统可以 理解为是由相互关联、相互制约、相互作用的一些部分组成的具有某种功能的有 机整体。例如一个企业的经营管理是由很多子系统组成，包括生产、销售、技术、 供应、财务等，各子系统的工作好坏直接影响企
3、业经营管理的好坏，但各子系统 的目标往往不一致，生产部门为提高劳动生产率希望尽可能增大批量；销售部门 为满足更多用户需求，要求增加花色品种；财务部门希望减少积压，加速流动资 金周转，降低成本。而灵敏度分析，不是对每一个决策行为孤立进行评价，而是 把相互影响的各方面作为一个统一体，从总体利益的观点出发，在企业现有人员、 设备、资金、原材料的情况下，根据市场的需求和企业的可能，做到物尽其用， 人尽其才。在大多数线性规划中，其参数值是一些估量值，有时是作为政策决定 的结果而出现，这些决定是否正确，要经过方案实施后的效果而定。在反映生产 问题的线性规划中，也由于生产技术条件，资源限额，市场价格的变化是
4、成本（或 利润）的目标函数发生变化。基于以上原因，只求出 LP 的问题的最优解是不够 的，还要研究这些参数的变化对最优解产生的影响，或者说，这些参数在什么范 围内变化时，所求的最优解仍然有效，这就是灵敏度分析的内容。2. 线性规划模型的建立 线性规划问题所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经 济效果达到最好，规划问题。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大 值或最小值的问题，统称为线性线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组 成的集合叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。线性规划的一般定义如下：对于求一组变量（1,2,3, , n）,使之即满足线性
5、约束条件，又使具有线性特征的目标函数取得极值的一类最优化问题称为线性规划问题，线性规划模型的建立 需具备以下条件：一是最优目标，问题所达到的目标能用线性函数来描述，且能 够使用极值(最大或最小)来表示。而是约束条件，达到目标的条件是有一定限 制的，这些限制可以用决策变量的线性等式或线性不等式来表示。三是选择条件， 有多种方案可以供选择，以便从中找出最优方案。线性规划问题的一般数学模型如下：max（或 min） z = c 咒 + c 咒 Hb c 咒1 1 2 2a % +a % + +a 咒11 112 21n na % +a % + + a %21 122 22n nnn）b1）b2（1）
6、S.t.01）bm% (j = 1,2,3,，n) 称为决策变量c (j = 1,2,3,，n) 称为目标函数系数b(j = 1,2,3,，n)称为约束右端系数a (i = 1,2,3,，n, j = 1,2,3,，n)称为约束系数ijj其中(1)式为目标函数,(2)式称为目标函数。由于目标函数和约束条件内容和形式上的差别,线性规划问题可以有多种多 样,为了便于对求解线性规划模型建立一个有效的算法,我们有必要对线性规划 模型规定它的形式,所以规定线性规划问题的标准形式如下：1.标准形式max（或 min） z = c % + c % + c %1122n na% +a%+ +a%= b1111
7、221nn1a% +a%+ +a%= b2112222nn2s.t. 0（j = 1,2,3, , n） j2.简写形式max （或 min ） z =工c %jj j工 c % = b s.t 0j（j = 1,n）3.矩阵形式max （或 min ） z = CXAX = bX 0mnC = （c ,c，,c ）;1 2 naa a1112aa a2122aa a1n式中A二2nm1m24.向量形式max （或 min ） z = CXn乙c x s.t.0式中 C,X，b，P 的含义与矩阵的表达式相同 对不符合标准形式(或称非标准形式)的线性规划问题，可分别通过下列方法转 化为标准形式。
8、1. 目标函数为求极小值，即为：minZ = CX,则作Z=-CX,即maxZ=-CX2. 约束条件为不等式；3. 取值无约束的变量；4右端项小于0即当变量x 0jjjj2. 单纯形法(1) 单纯形法原理 基本思想：从可行域中的某个基本可行解开始到另一个基本可行解，直到目标 函数最优。 理论基础定理1：若LP问题可行域存在，则可行域是个凸集。定理 2： LP 问题的基可行解与可行域的顶点一一对应。定理 3：若 LP 问题存在最优解，则一定存在一个基可行解是最优解。(2) 单纯形法的步骤1. 建立初始单纯形表1.1 把线性规划模型化为标准型；1.2 找出一个现成的可行基作为初始可行基把目标函数非
9、基化；2. 最优解检验，若不是最优解，则惊醒下一步3. 换基迭代3.1 确定“进基”变量；3.2 确定“出基”变量；3.3 确定转轴元素。4. 返回第二步检验是否为最优解3. 灵敏度分析 灵敏度分析主要有以下几种情况：（1）资源数量变化的分析；（2）目标函数中价值系数 c 的变化分析；j（3）技术系数a的变化；ij（ 4）约束条件增减的变化分析。 当线性规划问题中的一个或几个系数变化后，原来求得的结果一般会发生变化。 灵敏度分析的步骤可归纳如下：1. 将参数的改变计算反映到最终单纯形表上来；具体计算方法是，按下列公式计算出由参数a , b ,C的变化而引起的最终单 ij i jAb* = B-
10、iAb纯形表上有数字的变化：Ap* = B-1APiiA（c 一 z ）* = A（c 一 z ） - a y *j j j j ij ii=12. 检查原问题是否认为可行解；3. 检查对偶问题是否认为可行解；4. 按表 1-1 所列情况得出结论和决定计算步骤。原问题对偶问题结论或继续计算的步骤可行解可行解任为问题最优解可行解非可行解用单纯形法继续迭代求最优 解非可行解可行解用对偶单纯形法继续迭代求 最优解非可行解非可行解引进人工变量，编制新的单纯 形表重新计算表 1-13.1分析c的变化范围j对c的灵敏度分析，就是在不改变原来最优解基变量及其取值的条件下，求出 jc的允许变动范围，也就是求出
11、c变动值Ac的上下限，因c的变化仅影响检验 j j j j数c -z，因此灵敏度分析的基础是：c的变化仍使单纯形表中非基变量检验数 j j j不小于 0.3.2分析b的变化范围ib 的变化在实际问题中表明可用资源的数量发生变化。由公式 iAb* = B-iAbAp* = B-1APii看出b的变化反映dao最终单纯型表上只引起基 iA(c - z )* = A(c - z )-迟 a y *j j j j ij i i=1变量列数字变化，因此灵敏度分析的步骤为：Ab* = B-1Ab按公式Ap * = B -iAPii1)算出Ab，将其加到基变量列的数字 iA(c - z )* = A(c -
12、 z )-迟 a y *j j j j ij i i=1上；(2)1-1 进行讨论。3.3对a的灵敏度分析ij由于其对偶问题仍为可行解，故只需检查元问题是否仍为可行解，再按表3.3.1 a 为基变量ij若a为基变量时，设B = (B B )是最优解，则LP问题的单纯形法步骤为 ij(BiB2Db T(B-1B1B-1B2B-i D B-ibCCCCCCZB1B2D丿JB1B2D丿(EEB-1DB-ib(Ti2(EE1 00C-C B-1D Z - C B-1b12B12DB)=E为单位矩阵，C -C B-1D0 , 在 LP 问题中，DBB =(B B ) C = Q C ),若12CB2B2
13、A 中的某个变量 X 所在列发生变化，设B1B T B ,则得到新的LP问题：1m iz n= C CBB1X )BIX2丿D(B,s.t 0B1B2D=bf B B D b)i2C C C Z BiB2D丿在原 LP 的终表中将 X 所在列换成BiB-i BEB-i DB-ib 1 2C - C B-1B 0 C - C B-1D Z - C B -ibB BiD BB/ B-ib 、，但 B 为基变量，故应以X 为换入变量，作初等变化，将 B1B-ib、(E )TC - C B -i BBBiI 0丿使(E111C - CB-1B 丿BiBii 丿E )= E，在用2单纯形法求最优解3.3.2 a 为非基变量 ij若 a 为非基变量时，它的改变不会影响最优解的可行性， ijX = B-ib ,BN =(Ni2NNiN222N变为N时，有(B N Ni2i2/ BNNb、
