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1、精品文档讲授内容备注3学时第十五讲任意两个原 函数之间相 差一常数第四章一元函数积分学4.1不定积分基本概念的一个元函数.不定积分分.记作基本性质原函数vxwI,若Fx)=f(x),则称F(x)为f(x)在I上f(x)在I上的全体原函数，称为f(x)的不定积口(x)dx=F(x)+C(C为积分常数)1、 f(x)dx=f(x)df(x)dx=f(x)dx2、 F(x)dxuF(x)CdF(x)=F(x)C基本积分方法1、简单积分法用初等变形将被积函数化简，直接使用积分公式；关键是第一 部凑微分，需 熟记微分公2、换元积分法第一换元积分法f(x)(x)dx凑微分=,f：(x)d(x)换元u=(x
2、)=fudu积分=F(u)C回代u=(x)=F(5(x)+C.第二换元积分法f(x)dx适当选取x=(t)=.f(t)(t)dt整理=.gtdt积分=G(t)C回代tM比(x)=Gd(x)+C.其中第一步适当选取变量替换是关键10、去掉被积函数中的根号三角代换欧拉代换无理根式的积分20、转换有理函数的分子、分母的幕指数倒代换30、x=0).证被积函数的定义域为：0Wx2a.所以Idx x=fx -x-.2ax -x2x .dx =dxa* 2 * -(x - a)2于是令x-a =asint ,JI一一：二 t :二一,贝U dx = a costdt3 2.=a arcsin2x -a2 .
3、 2ax - x2-2a2x -a.2ax - x2 C3 2.=-a arcsin2-2a . 2ax-x2(x-a) . 2ax-x2 C2x a sin t =a2ax -x cost =a2(aasint),例3确定系数A,B使下式成立2(a b cosx), Asin x -dx 二Ba bcosx a bcosx上式两边求导2(a bcosx)二 As1nxa bcosxa bcos x，、2(abcosx)，、2(abcosx)所以AbBa-1AaBb=0所求系数A=.22b-a当a=b时,无论A,B为何值时，所给等式不成立.例4已知f(sin2x)=cos2x+tan2x,0M
4、x1解f(sin2x)=cos2xtan2x=1-2sin2一2sinx2/c21-(1。sinx)=1_2sinx21-sinx二2=1-2sinx丁-11-sinx12=-2sinx1 -sinx所以一.1f(t)=-2-2t0二t：二11 -tf(t)=f(t)dtln(1-t)-t2C即f(x)=ln(1x)x2+C,0cx=x2,-1-x：1x,x-1-x2+C1,x1.23,由原函数的连续性知，若取C=C2,有12一1一lim(x2C1)C1x1-0221 Q1lim(-x3C)二-一Cx-； -sin x033所以1+C1=1+C,解得C1=1+C.2 361 3-1-lim(xC)=Cx1-033.,121-lim(xC3)=C3x102323.一11.一1所以一十C3=十C,解行C3=-十C.2 36121八,x+C,x12613八I=x3+C,-1x1.3121c/x+C,x之126acostdt2_22.,a-asint2一_._2一一=a(12sintsint)dt222,-2,a,a,一=at-2acostt-sin2tC24c2322,a=-at-2acost一一sintcostC
