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1、第 1 讲 随机抽样、用样本估计总体一、知识梳理1. 随机抽样简单随机抽样 定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(nW N)，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就称这样的抽样方法为简单随机抽样. 常用方法：抽签法和随机数法.(2) 分层抽样 定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样. 适用范围：适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时.2. 统计图表(1) 频率分布直方图的画法步骤 求极差(即一组数据中最大值与最小值的差); 决定组
2、距与组数； 将数据分组； 列频率分布表； 画频率分布直方图.频率分布折线图和总体密度曲线 频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点, 就得到频率分布折 线图； 总体密度曲线：随着样本容量的增加， 作图时所分组数增加，组距减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.3样本的数字特征(1) 众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.(2) 中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.aia n(3) 平均数：把 二 称为ai, a2,，an这n个数的平均数.(
3、4) 标准差与方差：设一组数据xi , X2, X3，xn的平均数为X，则这组数据的标准差 和方差分别是常用结论1. 不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的.2. 会用三个关系频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.(2) 中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.(3) 平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.3. 巧用四个有关的结论(1) 若xi, X2,，xn的平均数为 x ,那么 mxi + a, mx2 + a,，mxn+ a的平均数为 mx+ a ；(2)
4、数据xi, X2,xn与数据x1 = xi+ a , x2= X2+ a，,xn= Xn+ a的方差相等,即 数据经过平移后方差不变；(3) 若xi,X2,，xn的方差为s 400 + 2 000 + I 600答案：242.已知一组数据6, 7, 8, 8, 9, I0,则该组数据的方差是 .5 答案：5 3某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量(单位：克)绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为80, 82), 82 , 84), 84 ,86), 86, 88), 88 , 90), 90 , 92), 92 , 94) , 94 , 96，则
5、样本的中位数在第 组.,那么axi +b,ax2+ b,，axn+ b的方差为a2s2;nn(4) s2 =丄E (xi-X)2 = 2E好X2,即各数平方的平均数减去平均数的平方.n匸) ni =i二、教材衍化I 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2 400人、高二2 000人、高三n人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为 36,那么高三被抽取的人 数为.解析：由分层抽样可得2400 X 90= 36,则n = I 600,所以高三被抽取的人数2 400 + 2 000+ nI 600X 90= 24.解析：由题图可得，前四组的频率为(0.037 5 + 0.0
6、62 5 + 0.075+ 0.1) X 2 = 0.55,则其频数为40 X 0.55= 22 ,且第四组的频数为 40X 0.1 X 2= 8,故中位数落在第 4组. 答案： 4一、思考辨析判断正误(正确的打“V”，错误的打“X”)(1)简单随机抽样是一种不放回抽样. ( )(2) 在抽签法中，先抽的人抽中的可能性大.()(3) 一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大.()(4) 在频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间内的频率越 大. ( )(5) 频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直 观. ( )(6) 在频率分布直方图中，最
7、高的小长方形底边中点的横坐标是众数的估计值( )答案：(1)2(2) X (3) V (4) V (5) V (6) V二、易错纠偏常见误区 | (1)随机数表法的规则不熟出错；(2)频率分布直方图识图不清；1 假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现用随机数法从500 支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500支疫苗按000, 001，499进行编号，若从随机数表第 7 行第 8 列的数开始向右读，则抽取的第 3 支疫苗的编号为84 42 17 53 3157 24 55 06 8877 04 74 47 6721 76 33 50 2583 92 12 06 7
8、663 01 63 78 5916 95 55 67 1998 10 50 71 7512 86 73 58 0744 39 52 38 7933 21 12 34 2978 64 56 07 8252 42 07 44 3815 51 00 13 4299 66 02 79 54解析： 由题意得,从随机数表第7 行第 8 列的数开始向右读(下面摘取了随机数表的第7 行至第 9 行),符合条件的前三个编号依次是 331 , 455, 068, 故抽取的第 3 支疫苗的编号是 068.答案： 0682我市某校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为20, 40), 40,
9、 60), 60, 80), 80, 100,若低于 60分的人数是 15,则该班的学生人数是解析：依题意得，成绩低于60分的相应的频率等于(0.005 + 0.01) X 20= 0.3,所以该班的学生人数是 15 .3 = 50.答案： 50考点一 随机抽样 （基础型 ）复习指导 | 1.理解随机抽样的必要性和重要性 2学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本3 通过对实例的分析 ，了解分层抽样的方法核心素养： 数据分析301. （2020重庆中山外国语学校模拟）如饼图，某学校共有教师120人，从中选出人的样本，其中被选出的青年女教师的人数为 （）B. 6A. 12解析：选D .青年教师的
10、人数为 120 X 30%= 36,所以青年女教师为12人，故青年女教师被选出的人数为12 X = 3故选D .1202. （2020武汉市武昌区调研考试）已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员 4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0 到9之间取整数值的随机数，指定 0, 1表示没有击中目标，2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9表示 击中目标；再以每 4个随机数为一组，代表 4次射击的结果经随机模拟产生了如下20组随机数：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045
11、60113661959774247610 4281据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为 .解析：4次射击中有1次或2次击中目标的有：0371 , 6011, 7610, 1417, 7140,所以所求概率p=1 - 202015200.75.答案：0.753. 一支田径队有男运动员56人，女运动员 m人，用分层抽样抽出一个容量为n的样本，在这个样本中随机取一个当队长的概率为1,且样本中的男队员比女队员多4人，则m解析：由题意知n= 28,设其中有男队员x人，女队员有y人.x+ y= 28,则 x y= 4,解得 x= 16, y= 12, m= 42.56= xm y.答案：
12、42(1)抽签法与随机数法的适用情况 抽签法适用于总体中个体数较少的情况 ， 随机数法适用于总体中个体数较多的情况 一个抽样试验能否用抽签法 ， 关键看两点：一是制签是否方便； 二是号签是否易搅匀 一般地 ，当总体容量和样本容量都较小时可 用抽签法(2)分层抽样问题类型及解题思路求某层应抽个体数量 ，根据该层所占总体的比例计算已知某层个体数量 ， 求总体容量 ，根据分层抽样即按比例抽样 ， 列比例式进行计算 确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况.考点二 样本的数字特征 (应用型 )复习指导 | 1.通过实例理解样本数据的标准差的意义和作用， 学会计算数据的标准差2能根据
13、实际问题的需求合理地选取样本 ，从样本数据中提取基本的数字特征 (如平均 数、标准差 )，并作出合理的解释核心素养： 数据分析、数学运算(1)在一次歌咏比赛中，七位裁判为一 选手打出的分数如下：90, 89, 90, 95, 93, 94 , 93.去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为()A. 92, 2.8B. 92, 2C. 93, 2D. 93, 2.8(2)(2020盐城模拟)已知一组数据 xi, X2, X3, X4, X5的方差是2，则数据2x1, 2x2 , 2x3, 2x4 , 2x5的标准差为.【解析】(1)由题意得所剩数据：90, 90, 93, 94
14、, 93._90 + 90 + 93+ 94 + 93所以平均数x = 92.51方差 s2= 5【(90 92)2 + (90x 92)2 + (93 92)2+ (93 92)2+ (94 92)2 = 2.8.1 n(2)由 s2= n(xi X)2=2,则数据2X1,2X2,2X3,2x4,2x5的方差是 8,标准差为2.2.i = 1【答案】(1)A (2)2 . 2【迁移探究】(变条件)本例增加条件“ X1, X2, X3, X4, X5的平均数为2”，求数据2X1 + 3, 2X2 + 3, 2X3+ 3, 2x4 + 3, 2x5 + 3 的平均数和方差.解：数据 2X1 + 3, 2x2 + 3, 2x3 + 3, 2x4 + 3, 2x5 + 3 的平均数为 2X 2+ 3= 7,方差为 22X 2 = 8.众数、中位数、平均数、方差的意义及常用结论(1)平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小.1 1方差的简化计算公式：s (2020昆明市诊断测试)高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发 明”，为评估共享单车的使用情况，选了 n座城市作试验基地
