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1、精选优质文档-倾情为你奉上昆 明 学 院 2016届毕业论文（设计） 设计（论文）题目 论反证法在中学数学中的应用 子课题题目 姓 名 郑粒红 学 号 8 所 属 系 数学系 专业年级 数学与应用数学2012级数学1班 指导教师 雷晓强 2016 年 3 月专心-专注-专业摘 要本文主要从五大板块对反证法在中学数学中的应用进行论述，第一板块通过对反证法的由来、定义、逻辑依据、种类、模式的说明对反证法进行概解。第二板块例举反证法的适用范围，并通过大量实例阐明在各个命题中反证法的证明的步骤。第三板块分析应用反证法应注意的问题。第四板块浅析反证法的教学价值及建议。最后第五板块进行分析总结。关键词：反
2、证法;证明;矛盾 Abstract This article mainly from the five plate on the reduction to absurdity in the middle school mathematics application is discussed, and the first plate by means of reduction to absurdity and types of the origin, definition and logical basis, the model of generalized solution of reduct
3、ion to absurdity. Second plate presented the applicable scope of reduction to absurdity, and through a lot of examples to elucidate the reduction to absurdity in the proposition proof steps. Some problems that should be paid attention to the third sector analysis application of reduction to absurdit
4、y. The fourth section teaching value of reduction to absurdity is analysed and the suggestion. Finally the fifth plate were analyzed. Keywords: Reduction to absurdity; prove ;contradiction目录9345绪论从前有一个叫王戎的小孩。在天朗气清的一天，他和小朋友们出去玩并在路边发现一棵树上结满了李子，小朋友们蜂拥而上，去摘李子吃，尝了之后发现是李子苦的。这时站在一边没有动的王戎向小朋友们解释道：如果李子是甜的，早被
5、路人摘光了，而这棵树上的李子结得满满的，所以这些李子一定是苦的。这个故事中王戎从反面论述了李子为什么一定是苦的。这种反面的证明方法就是我下面所要讨论的反证法。反证法是数学证明中一种极为重要的方法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。同时反证法也拥有历史悠久的应用与发展，古希腊数学家们就曾应用它证明了许多重要教学命题，比如，欧几里德证明两条直线相交只有一个交点的定理就是用反证法证明的。第一章 反证法概解1.1 反证法的由来 反证法,从名称上我们就能知道它是一种证明方法，它在数学和逻辑上是统一的。在毕达哥拉斯学派的影响下早期古希腊的数学认为万物皆数，并用整数和几何图形构建了一个宇宙图
6、式，当时在数学家的脑海里万物皆数这个思想是根深蒂固的。但是随着的出现，希腊开始重新审视他们眼里的数学，认识到图形和直观并不是万能的，从而推理和逻辑走上了数学的舞台。于此同时西方数学变成了以证明为主的证明数学,他们的数学推崇准确性，他们要的是准确的数学。其表现形式为:逻辑、演绎的体系。由此可见证明的数学与算的数学正好是相反的。希腊人重视逻辑和演绎的证明，在欧几里得的几何原本里反证法得到了最早的应用。在初等数学教程（平面几何卷）中法国数学家J阿达玛作了最准确、最简明扼要、最精辟的描述：“反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。在数学命题的证明中作为一种最重要且基本的数学证明方
7、法的反证法被广泛应用。就如，伽利略推翻“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的断言，欧几里得证明的“素数有无穷多”的结论，欧多克斯证明的“两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方”的结论， “最优化原理”的证明，“上帝并非全能”的证明，其中都运用了反证法。在我们学习的各个阶段，反证法自始至终都陪伴着我们。1.2 定义反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾，推理而得。不仿设原命题为，是推出的结论，表示条件、某公理定义定理或临时假设，则用数学术语可以简单地表示为：，即。1.3 逻辑依据逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”是反
8、证法所依据的。逻辑思维中的“矛盾律”指在同一思维过程中，两个相互矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的；逻辑思维中的“排中律”指两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”。反证法通过证明，从而得到矛盾的判断，再根据“矛盾律”，我们知道这些矛盾的判断不能同时为真，必定有一个是假的。而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必定是假的。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们并可以得到原结论必定是真的。1.4 种类反证法又称为归谬法，反证法的运用重点在于归谬。根据结论B的反面情况的不同，
9、分为简单归谬法和穷举归谬法。1.4.1 简单归谬法如果命题的反面只有一种情形，那我们则只需把这一种情形推倒，便可实现反证的目的。例 1.1 两条直线同时平行于第三条直线，则原两条直线互相平行。已知：求证：证明：假设与不平行, 则可设,过点有两条不同的直线与（不满足平行公理）,即假设不成立,故. 1.4.2 穷举归谬法若命题的反面不止一种情况，那我们则必须将其逐一推倒，才能间接证明命题的正面成立。例 1.2 若则有证明：假若不然，则有:与题设矛盾；与题设矛盾。因此， 1.5 模式 假设需要证的命题为“若A则B”，其中A是题设，B是结论，并且A、B本身也都是数学判断，那么用反证法证明命题一般有如下
10、三个步骤：(1)反设：作出与求证结论相反的假设；(2)归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；(3)结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。第二章 反证法的适用范围 生活中去掉含有砂砾大米中的砂砾，一共有两种方法。一种是直接把大米中的砂砾一一捡出来；一种是用淘洗发，把砂砾残留下来。这就像数学中的直接法和间接法，而反证法就是一种典型的间接法。那么，我们什么时候该用反证法呢？2.1否定性命题 结论以“没有”、“不是”、“不能”等形式出现的命题，不容易用直接证法证明，而反证法刚好可以发挥它的作用。例 2.1 求证:若为自然数 ,则不能被15整除。 证明：假设能被15整除,则定能被
11、5整除, 的尾数必定为5或0,又 为偶数 , 的尾数必然为0,即的尾数必然为8 . 又对任意自然数的尾数均不为8，假设错误不成立，即原命题成立. 2.2 肯定性命题 例2.2 求证0.9的循环等于1.证明：假设0.9的循环不等于1，则0.3的循环的3倍必定不等于1,又，与假设矛盾,即原命题成立，0.9的循环等于1. 2.3 限定式命题结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题称为限定式命题。2.3.1 “至多”例2.3 已知:都是正整数;求证：在三个数中，至多有一个数不小于1证明： 假设中至少有两个数不小于1，不妨设则:两式相加，得:,与是正整数矛盾即命题成立. 2.3.2
12、“至少”例 2.4 已知：;证明:方程和中，至少有一个方程有实数根。分析：“至少有一个”就是“有一个”，“有两个”，那么它的反面则是“一个都没有”，属于存在性问题，适合用反证法。证明：假设两个方程，都没有实根,， . 又,矛盾.即和中至少有一个方程有实数根. 2.3.3 其他例 2.5 是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合： （1）对任意的，都有； （2）存在常数，使得对任意的，都有. 设 , 如果存在 使得,证明这样的是惟一的.分析:如果不是惟一的，即存在另外的满足条件的根。证明时可假设存在外的另一实数满足条件，从而推出与惟一性相矛盾的结论.证明：假设存在另一实数,使得. ,由得:,即,
13、又,显然上式不成立,原命题成立. 2.4 无限性命题在含有“无穷”、“无限”等词的求证命题中，我们往往不容易从正面证明，这时，我们便可以考虑使用反证法证明。例 2.6 求证在0与1之间有无穷个有理数。证明：假设在0与1之间的有理数只有（有限的）n个：.有理数之积仍为有理数,可得到一个与都不相同的有理数. 又都为小于1的正有理数,在0与1至少有n+1个有理数，这与假设只有限个有理数相矛盾,即原命题成立. 例 2.7 求证：是无理数。分析：由于无理数是无限不循环的，而“无限”与“不循环”都很难表示出来。所以我们可以反设是有理数，便能表示为一个分数。证明：假设是有理数，则可设:（,且互质）,为偶数，
14、并设.,则也是偶数,故均为偶数与互质矛盾,即原命题成立. 例 2.8 试证: 存在无穷多个质数。分析：对于这类具有某种无限性质的命题,如果从正面去证明往往比较麻烦,以至无法证明.但用反证法证明,就可把无限转化为有限.这样,论证起来也就简单方便得多了。证明: 设质数只有个: ，,，取正整数+1,不能被这个质数中的任一个整除（有余数1）,本身就是不等于 中任一个质数,或者还含有除这个质 数外的质因数,这与质数仅有个的反设是矛盾的,故质数个数不可能是有限的,而是无限的. 2.5 基本定理和初始命题由于在证明某些基本定理时，我们除已经学过的公理及其推理外，在此之前所导出的定理不多，这时常用反证法。例 2.9 证明勾股定理：已知：三角形的三边长分别为：，;求证：.证明：假设.又,可令，且.显然,，从而,
