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1、石家庄市2018届高中毕业班教学质量检测（一）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ， ，则，故选D.2. 若复数满足，其中为虚数单位，则共轭复数（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，故选B.3. 抛物线的准线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】抛物线可化为，焦点在轴上，抛物线的准线方程是，故选D.4. 已知某厂的产品合格率为0.8，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是（ ）A. 合格产品少于8件 B. 合格产品多于
2、8件C. 合格产品正好是8件 D. 合格产品可能是8件【答案】D【解析】由已知中某厂的产品合格率为，则抽出件产品检査合格产品约为件，根据概率的意义，可得合格产品可能是件，故选D.5. 在中，点在边上，且，设，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】， ，故选B.6. 当时，执行如图所示的程序框图，则输出的值为 （ ）A. 9 B. 15 C. 31 D. 63【答案】C【解析】由程序框图可知，退出循环，输出的值为，故选C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件
3、分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7. 若，函数的图像向右平移个单位长度后与函数图像重合，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】向右平移个单位可得，因为函数的图象向右平移个单位长度后与函数图象重合，时，的最小值为，故选B.8. 已知奇函数，当时单调递增，且，若，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】为奇函数，时，单调递增，时，也单调递增
4、，由，得，的取值范围为或，故选A.9. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线条表示的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的四个面中面积最小是 （ ）A. B. C. 2 D. 【答案】C【解析】由三视图可知，三棱锥的直观图如图，图中正方体棱长为，由图知，四面中面积最小值是，故选C.10. 双曲线 的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与轴和双曲线的右支分别交于两点，若点平分线段，则该双曲线的离心率是（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】B【解析】双曲线 的左焦点为,直线的方程为，令，则，即，因为平分线段，根据中点坐标公式可得 ，代入双曲线方程，可得，由于，则，化简可得，解得，由，解得，故选B
5、.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.11. 已知是函数在上的所有零点之和，则的值为（ ）A. 3 B. 6 C. 9 D. 12【答案】B【解析】函数h(x)=的图象关于 对称，设函数,由,可得,令可得，所以函
6、数,也关于对称，由图可知函数h(x)=的图象与函数的图象有四个交点，所以函数在上的所有零点个数为四，函数在上的所有零点之和 ，即的值为,故选B.12. 定义：如果函数在区间上存在 ，满足，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】在区间存在，满足 ，方程在区间有两个解，令，则，解得实数的取值范围是，故选A.【方法点睛】本题考查导数的运算法则、一元二次方程根的分布、新定义问题及数形结合思想，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在
7、阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“双中值函数”达到考查导数的运算法则、一元二次方程根的分布的目的.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设，那么的值为_【答案】-1【解析】， ，令式中的，得，故答案为.14. 若满足约束条件，则的最大值是_【答案】【解析】,画出约束条件表示的可行域，如图，平移直线，当直线经过点 时，直线在 轴上的截距最小，有最大值，由可得，有最大值为
8、，故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15. 三棱锥的各顶点都在同一球面上，若，侧面为正三角形，且与底面垂直，则此球的表面积等于_【答案】【解析】设侧面SAB的外心为 ，底面的外心为 ，球心为 ， 的中点为 ，因为侧面为正三角形，且与底面垂直，所以 为矩形，由正三角形的性质可得 ，由余弦定理可得 ，设外接圆半径
9、为，由正弦定理得 ，由勾股定理可得 ，外接球的表面积为 ，故答案为.故答案为16. 如图所示，平面四边形的对角线交点位于四边形的内部，当变化时，对角线的最大值为_【答案】3【解析】设，则由余弦定理可得，由正弦定理可得， ，时，有最大值 ，取得最大值为，故答案为.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列满足：，.（1）设，求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（）（）【解析】试题分析：（1）由可得，则，利用累加法可得；（2）由（1）可知，利用分组求和法求和，分别利用等差数列求和公式求出数列的前项和，利用错位相减法结合等比数列的
10、求和公式可得数列的前项和，从而可得数列的前项和.（1）由可得累加法可得：化简并代入得：；（2）由（）可知，设数列的前项和则 18. 某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：（1）求的值；并且计算这50名同学数学成绩的样本平均数；（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在的同学中选出3位作为代表进行座谈，记成绩在的同学人数位，写出的分布列，并求出期望.【答案】（），（）见解析【解析】试题分析：（1）由 解得 ，根据各矩形中点横坐标与纵坐标的积求和即可得到该校名学生成绩的平均值；（2）成绩在的同学人数为，成绩在人数为
11、，的可能取值为，根据排列组合知识求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.试题解析：（1）由题 解得 (2)成绩在的同学人数为6，成绩在人数为4， ， ， 所以的分布列为19. 已知四棱锥，底面为正方形，且底面，过的平面与侧面的交线为，且满足（表示的面积）.（1）证明：平面；（2）当时，二面角的余弦值为，求的值.【答案】（）见解析（）. 【解析】试题分析：（1）由正方形性质可得，从而得平面 ，根据线面平行的性质定理可得，由三角形中位线定理可得，进而根据线面平行的判定定理可得平面；（2）底面为正方形，且底面，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，设，分别求出平面的
12、一个法向量及平面 的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得，从而可得结果.试题解析：（1）由题知四边形ABCD为正方形AB/CD，又平面PCD，AB平面PCDAB/平面PCD 又AB平面ABFE，平面ABFE平面PCD=EFEF / AB，又AB/CDEF /CD， 由SPEF：S四边形CDEF=1:3知E、F分别为PC、PD的中点连接BD交AC与G，则G为BD中点，在PBD中EG为中位线， EG/PB EG/PB，EG平面ACE，PB平面ACEPB/平面ACE. （2）底面ABCD为正方形，且PA底面ABCD，PA、AB、AD两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz， 设AB=AD=
13、2a，AP=2b，则A（0，0，0），D（0，2a，0），C（2a，2a，0）G（a，a，0），P（0，0，2b），F（a，a，b）， PA底面ABCD，DG底面ABCD，DGPA ，四边形ABCD为正方形ACBD,即DGAC，ACPA=ADG平面CAF，平面CAF的一个法向量为 设平面AFD的一个法向量为而由得 取可得为平面AED的一个法向量， 设二面角CAFD的大小为则得又 当二面角CAFD的余弦值为时. 【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点.（1）若以为直径的动圆内切于圆，求椭圆的长轴长；（2）当时，问在轴上是否存在定点，使得为定值？并说明理由.【答案】（）6（）见解析【解析】试题分析：（1）设的中点为 ，可得 ,当两个圆相内切时 ，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即，所以，椭圆长轴长为；（2）先求得椭
