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1、2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。把答案填在横线上1设集合，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合 2函数的值域为 3设为正实数，则 4如果，那么的取值范围是 5现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 （用数字作答）6在四面体中，已知，则四面体的外接球的半径为 7直线与抛物线交于两点，为抛物线上的一点，则点的坐标为 8已知C，则数列中整数项的个数为 二、解答题：本大题共3小题，共56分解答应写出文字说明、证明过程或演算
2、步骤9（本小题满分16分）设函数，实数满足，求的值10（本小题满分20分）已知数列满足：R且，N（1）求数列的通项公式；（2）若，试比较与的大小yxOPAB11（本小题满分20分）作斜率为的直线与椭圆：交于两点（如图所示），且在直线的左上方（1）证明：的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若，求的面积2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）ABCDQP一、（本题满分40分）如图，分别是圆内接四边形的对角线的中点若，证明：二、（本题满分40分）证明：对任意整数，存在一个次多项式具有如下性质：（1）均为正整数；（2）对任意正整数，及任意个互不相同的正整数，均有三、（本题满分50分）设是给定的正
3、实数，对任意正实数，满足的三元数组的个数记为证明：四、（本题满分50分）设A是一个的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数称A中的一个方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数称A中的一个的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”求A中“坏格”个数的最大值2010年全国高中数学联赛一 试一、填空题（每小题8分，共64分，）1. 函数的值域是 .2. 已知函数的最小值为，则实数的取值范围是 .3. 双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 .4. 已知是公差不为的等差数列，是等比数列，其中，且存在常数使得对每一个正整数都有，则 .5. 函数
4、 在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 .6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .7. 正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,则 .8. 方程满足的正整数解（x,y,z）的个数是 . 二、解答题（本题满分56分）9. （16分）已知函数，当时，试求的最大值. 10.（20分）已知抛物线上的两个动点，其中且.线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值. 11.（20分）证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得 .加 试1. （40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边B
5、C上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M求证：若OKMN，则A，B，D，C四点共圆2. （40分）设k是给定的正整数，记，证明：存在正整数m，使得为一个整数这里，表示不小于实数x的最小整数，例如：，3. （50分）给定整数，设正实数满足，记求证： 4. （50分）一种密码锁的密码设置是在正n边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？2010年全国高中数学联赛一 试解 答1. 提示：易知的定义域是，且在上是
6、增函数，从而可知的值域为.2. 提示：令，则原函数化为，即.由， 及 知 即 . （1）当时（1）总成立；对；对.从而可知 .3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑轴上方的情况，设与双曲线右半支于,交直线于，则线段内部的整点的个数为，从而在轴上方区域内部整点的个数为.又轴上有98个整点，所以所求整点的个数为.4. 提示 ：设的公差为的公比为，则 （1）， （2）（1）代入（2）得，求得.从而有 对一切正整数都成立，即 对一切正整数都成立.从而 ，求得 ，.5. 提示：令则原函数化为,在上是递增的.当时，,，所以 ；当时，所以 .综上在上的最小值为.6. 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6
7、的概率为，从而先投掷人的获胜概率为.7. 提示：解法一：如图，以所在直线为轴，线段中点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则，从而，.设分别与平面、平面垂直的向量是、，则由此可设 ，所以，即.所以 .解法二：如图， .设与交于点 则 .从而平面 .过在平面上作,垂足为.连结,则为二面角的平面角.设,则易求得.在直角中，,即 .又 .8. 336675 提示：首先易知的正整数解的个数为 .把满足的正整数解分为三类：（1）均相等的正整数解的个数显然为1；（2）中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设两两均不相等的正整数解为.易知 ，所以 ，即.从而
8、满足的正整数解的个数为.9. 解法一： 由 得. 所以 ，所以. 又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为. 解法二：. 设，则当时，. 设 ，则.容易知道当时，. 从而当时， ， 即 ，从而 ,，由 知. 又易知当（为常数）满足题设条件，所以最大值为. 10. 解法一：设线段的中点为，则 ， .线段的垂直平分线的方程是. （1）易知是（1）的一个解，所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为. 由（1）知直线的方程为，即 . （2）（2）代入得，即. （3）依题意，是方程（3）的两个实根，且，所以,. . 定点到线段的距离 . . 当且仅当，即,或时等号成立. 所以，面积的最大值为
9、. 解法二：同解法一，线段的垂直平分线与轴的交点为定点，且点坐标为. 设，则的绝对值, ,所以, 当且仅当且，即 ,或时等号成立. 所以，面积的最大值是. 11.令，则，所以是严格递增的.又，故有唯一实数根. 所以 ，.故数列是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列和满足，去掉上面等式两边相同的项，有，这里，所有的与都是不同的. 不妨设，则，矛盾.故满足题设的数列是唯一的. 加试解答1. 用反证法若A，B，D，C不四点共圆，设三角形ABC的外接圆与AD交于点E，连接BE并延长交直线AN于点Q，连接CE并延长交直线AM于点P，连接PQ因为P的幂（关于O）K的幂（关于O） ，同理 ，所以 ，故 由题设，OKMN，所以PQMN，于是 由梅内劳斯（Menelaus）定理，得， 由，可得， 所以，故DMN DCB，于是，所以BCMN，故OKBC，即K为BC的中点，矛盾！从而四点共圆. 注1：“P的幂（关于O）K的幂（关于O）”的证明：延长PK至点F，使得， 则P，E，F，A四点共圆，故，从而E，C，F，K四点共圆，于是， -，得 P的幂（关于O）K的幂（关于O） 注2：若点E在线段AD的延长线上，完全类似2. 记表示正整数n所含的2的幂次则当时，为整数下面我们对用数学归纳法当时，k为奇数，为偶数，此时为整数 假设命题对成立对于，设k的二进制表示具有形式，这里，或者1， 于是 ，
