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1、新教材适用北师大版数学第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知抛物线C：y2x与直线l：ykx1，“k0”是“直线l与抛物线C有两个不同的交点”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析由(kx1)2x，得k2x2(2k1)x10，则当k0时，(2k1)24k24k10，得kb0，e1，e2分别为圆锥曲线1和1的离心率，则lge1lge2()A大于0且小于1B大于1C小于0D等于1答案C解析lge1lge2lglglglglg10，lge
2、1lge20)，则抛物线过点(40,30)，3022p40,2p，所以抛物线的方程应为y2x，所给选项中没有y2x，但方程x2y中的“2p”值为，所以选项C符合题意9(2014山东省烟台市期末)若双曲线1(a0，b0)的渐近线与抛物线yx22相切，则此双曲线的离心率等于()A2B3C.D9答案B解析由题意双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为yx，代入抛物线方程yx22整理得x2x20，因渐近线与抛物线相切，()280，即()28，此双曲线的离心率e3.故选B.10已知椭圆1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且倾斜角为45的直线l交椭圆于A、B两点，对以下结论：ABF2的周长为8；原点到l
3、的距离为1；|AB|.其中正确结论的个数为()A3B2C1D0答案A解析由椭圆的定义，得|AF1|AF2|4，|BF1|BF2|4，又|AF1|BF1|AB|，所以ABF2的周长|AB|AF2|BF2|8，正确；由条件，得F1(，0)，因为过F1且倾斜角为45的直线l的斜率为1，故直线l的方程为yx，原点到l的距离d1，故正确；由，消去y，得3x24x0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，解得x1x2，x1x20，所以|AB|，故正确二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上)11若抛物线y2mx与椭圆1有一个共同的焦点，则m_.答案8解析椭圆焦点为(2,
4、0)和(2,0)，因为抛物线与椭圆有一个共同焦点，故m8.12已知双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右支交于A，B两点，若|AB|5，则ABF1的周长为_答案26解析由双曲线的定义，知|AF1|AF2|2a8，|BF1|BF2|8，|AF1|BF1|(|AF2|BF2|)16.又|AF2|BF2|AB|5，|AF1|BF1|16521.ABF1的周长为|AF1|BF1|AB|21526.13(2014哈三中二模)双曲线1(a0，b0)的渐近线与抛物线y28x的准线的一个交点的纵坐标为1，则双曲线的离心率为_答案解析抛物线y28x的准线方程x2，交点坐标为(2，1)，
5、双曲线的渐近线方程yx，即，e.14曲线x2(y1)24与直线yk(x2)4有两个不同的交点，则k的取值范围是_答案(，)解析由得(1k2)x22k(32k)x(32k)240，4k2(32k)24(1k2)(32k)2448k20.0，即k时，直线与曲线有两个不同的交点15一个正三角形三个顶点都在抛物线y24x上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为_答案48解析设ABC的顶点C在原点，则直线ABx轴，由得A(12,4)，B(12，4)，SABC81248.三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16求下列双曲线的标准方程(1)与双曲线1有
6、公共焦点，且过点(6，)的双曲线；(2)以椭圆3x213y239的焦点为焦点，以直线y为渐近线的双曲线答案(1)1(2)1解析(1)双曲线1的焦点为(2，0)，设所求双曲线方程为：1(20a20)又点(6，)在双曲线上，1，解得a218或80(舍去)，所求双曲线方程为1.(2)椭圆3x213y239可化为1，其焦点坐标为(，0)，所求双曲线的焦点为(，0)，设双曲线方程为：1(a0，b0)双曲线的渐近线为yx，a28，b22，即所求的双曲线方程为：1.17如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|18m，拱顶离水面的距离为8m，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF.若矩形的长|CD|9m，那
7、么矩形的高|DE|不能超过多少m才能使船通过拱桥？答案6m解析如图，以O点为原点，过O且平行于AB的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系则B(9，8)，设抛物线方程为x22py(p0)点B在抛物线上，812p(8)，p，抛物线的方程为x2y，当x时，y2，|DE|6，当矩形的高|DE|不超过6m时，才能使船通过拱桥18已知过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点求证：(1)x1x2为定值；(2)为定值证明(1)抛物线y22px的焦点为F(，0)，设直线AB的方程为yk(x)(k0)由消去y，得k2x2p(k22)x0.由根与系数
8、的关系，得x1x2(定值)当ABx轴时，x1x2，x1x2，也成立(2)由抛物线的定义，知|FA|x1，|FB|x2.(定值)当ABx轴时，|FA|FB|p，上式仍成立19(2014云南景洪市一中期末)设F1、F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求|AB|.(2)若直线l的斜率为1，求b的值答案(1)(2)解析(1)求椭圆定义知|AF2|AB|BF2|4，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|.(2)l的方程为yxc，其中c设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点坐标满足方程组消去y化
9、简得(1b2)x22cx12b20.则x1x2，x1x2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|x2x1|即|x2x1|.则(x1x2)24x1x2，解得b.20已知双曲线1的离心率e，过A(a,0)，B(0，b)的直线到原点的距离是.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线ykx5(k0)交双曲线于不同的点C，D，且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值答案(1)y21(2)解析(1)双曲线的离心率e.过A，B的直线为1，即bxayab0.原点到直线AB的距离为，由，得b1.1.a23，双曲线的方程为y21.(2)由，得(13k2)x230kx780.x1x2.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中点M(x0，y0)，则x0，y0kx05.MB的斜率kMB.x0ky0k0，即k0.解得k27，k.21在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由答案(1)(2)k值不存在解析(1)由已知条件，直线l的方程为ykx，代入椭圆方程整理得x22kx10.
