《(甘志国)刍甍、羡除、刍童及楔形四棱台的体积公式》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(甘志国)刍甍、羡除、刍童及楔形四棱台的体积公式（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式见甘志国著立体几何与组合（哈工大出版社，）第8-52页 高考题(湖北文20）如图1，某地质队自水平地面A，,C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为.同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为，且过，的中点,且与直线平行的平面截多面体所得的截面为该多面体的一种中截面，其面积记为 (I)证明:中截面是梯形；图1 (I)在ABC中，记，BC边上的高为,面积为.在估测三角形区域内正下方的矿藏储量(即多面体的体积)时，可用近似公式来估算. 已知,试判断与V的大小关系，并加以证明. 请问,该题
2、中的即是怎么来的呢?这由下面推导的羨除体积公式立得.九章算术商功篇有部分题目波及到刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式，这些公式秦汉时人都已掌握，下面来推导它们.1.刍甍刍甍是图中的五面体,其中,底面是平行四边形.设，直线之间的距离是,直线与平面之间的距离是,则其体积. 图2 图3证明 如图.设点在面上的射影分别是点.我们把平面提成三块区域：区域指该平面位于直线左侧的部分(不涉及直线),区域指该平面夹在直线之间的部分（涉及直线这两条直线)，区域指该平面位于直线右侧的部分(不涉及直线)应分六种情形来证明:()点均位于区域;(2)点位于区域,点位于区域；(3)点位于区域，点位于区域；(4）点均位
3、于区域;(5）点位于区域,点位于区域；(6)点均位于区域.下面只对情形(5)予以证明:过点作于，交于；过点作于,交于，得,因此证毕!2.羨除羨除是图中的五面体，其中，底面是梯形.设，直线之间的距离是，直线与平面之间的距离是，则其体积. 图 图证明 用补形法可证.如图5，延长至,使,得刍甍,由刍甍的体积公式，得注 羨除的体积公式是由刍甍的体积公式推得的;当羨除的下底面梯形变成平行四边形(即图4中的)时，羨除就变成了刍甍，也得刍甍的体积公式是羨除的体积公式的极限情形.3.刍童刍童是图6中的六面体，其中面面，底面、底面均是平行四边形.设，面之间的距离是,之间的距离是,面之间的距离是,则其体积. 图6
4、 图7证明 如图7，可得面与平行平面的交线平行,因此连结由刍甍的体积公式,得注 刍童的体积公式是由刍甍的体积公式推得的；当刍童的上底面平行四边形变成线段（即图4中的)时，刍童就变成了刍甍，也得刍甍的体积公式是刍童的体积公式的极限情形. 4.楔形四棱台楔形四棱台是图中的六面体,其中面面,底面、底面均是梯形.设,面之间的距离是，之间的距离是,面之间的距离是，则其体积. 图8 图9证明 如图9，可得.连结由羨除的体积公式,得注 楔形四棱台的体积公式是由羨除的体积公式推得的;当楔形四棱台的上底面的梯形变成线段(即图4中的)时，楔形四棱台就变成了羨除，也得刍甍的体积公式是楔形四棱台的体积公式的极限情形.
5、由刍甍的体积公式可推得羨除、刍童、楔形四棱台的体积公式，由楔形四棱台的体积公式也可推得刍甍的体积公式.高考题 (全国卷文理4)如图1，在多面体中，已知是边长为1的正方形，且均为正三角形,，则该多面体的体积为( ）A. B. C. D.图10解 A由刍甍的体积公式可得(先算得).高考题 (1999全国卷文理1)如图1，在多面体中，已知面是边长为3的正方形,，与面的距离为2,则该多面体的体积为( )A. B.5 . D.图11解 D.由刍甍的体积公式可得.美国邀请赛题 图12中的多面体的底面是边长为的正方形，上面的棱平行于底面,其长为,其他棱长也都为，若,求这个多面体的体积.图12解 88.由刍甍的体积公式可得(先算得).在该题中，当时就是高考题2.
