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1、求递推数列通项的特征根法与不动点法一、形如an 2 pan 1 qan（p,q是常数）的数列形如a mi,a2 m2,an 2 pan 1 qan（p,q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项小，其特征方程为x2 px q若有二异根，,则可令an G n C2 nCQ是待定常数）若有二重根，则可令an （Ci nc2）n（Ci,c2是待定常数）再利用ai m1,a2 m2,可求得Ci,C2,进而求得an .例1.已知数列an酒足ai2,a23向23an 12an(nN ),求数列an的通项an.解：其特征方程为x23x 2,解得为1,x22,令anC11nC22n,由 a102C22,得
2、 GI , 为 12nl.a2G4c23 C22例2.已知数列a。满足& 1a2-2* _、一 一4an 1 an(n N ),求数列an的通项an .解：其特征方程为4x2 4x1 ,解得xx2，令anG nC2n1一 ,2a1由(C1C2)a2(C12c2)1一1214，行2C2an3n 22n 1、形如an 2 Aan B的数列Can D对于数列an 2Aa Bn,a1 m,n N (A, B,C,D是常数且 C 0,AD BC 0) Can D其特征方程为x 3,变形为Cx2 (D A)x B 0Cx D若有二异根,则可令aan 1n一(其中c是待定常数)，代入a1,a2的值可求得c值
3、.这样数列aan是首项为aa1,公比为c的等比数列，于是这样可求得an若有二重根c (其中c是待定常数)，代入a1,a2的值可求得c值.这样数列 an是首项为此方法又称不动点法.例3.已知数列a。满足2,anan 1anan 1，公差为c的等差数列，于是这样可求得a2an1 1(n 2),求数列an的通项a解：其特征方程为xy化简得2x2 2 0,解得x, 1,x21令 an 1 1an 1anan, .一 4.由a1 2,得a2一,可得c5数列a_是以吧an 1 a 13为首项,11为公比的等比数歹I,3an 1an 13n ( 1)n an3n ( 1)n例4.已知数列a。满足出2, an2an4an1-(n N ),求数列an的通项 6an解：其特征方程为2x 12x ,即 4x4x 64x 1X21令2，an 1an由a12,得a23士，求得c 114数列七an 2是以一2为首项，以1为公差的等差数5OGO5 n5 | 2n5 I 3
