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1、高中数学复数专题资料.复数概念:1. 定义：形如a bi a,b R的数叫做复数，记作z a bi，其中i是虚数单位，i21 ; a与b分别叫做复数z a bi的和。2. 分类：复数z a bi可分为实数、虚数和纯虚数，它们各自满足的条件分别是 、和它们在复平面上对应的区域分别是 、和。uuu3. 几何意义：复数z a bi复平面上的点Z a,b平面向量OZ ;uuuuuu4. 复数的模：复数z a bi a、b R的模即向量OZ的模，是有向线段OZ的长度；计算公式为a bi ;5. 共轭复数：复数z a bi a、b R的共轭复数是z a bi a、b R ,6. 两个复数相等 .【例练巩固
2、】例1（09福建）复数i2 1+i的实部是（）A.-2B.-1C.1D.2例1A考查：复数的概念解 i2 1+i =-1-I,所以实部是-1.例2（09江西）若复数z （x2 1） （x 1）i为纯虚数，则实数x的值为（）A. 1B. 0C.1 D.1 或 1例2 A考查：复数的运算x2 10【解由X 10 x 1，故选Ax 10例3 （09北京）在复平面内，复数z i（1 2i）对应的点位于（）A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限例3 B考查：复数的几何意义【解 z i（1 2i） i 2i 2 i，二复数z所对应的点为2,1 .例4复平面内三点 A B、C, A点对应
3、的复数为2+ i , BA寸应的复数为1+ 2i，向量BC寸应的 复数为3- i，则点C对应的复数为()A. 2 4i B. 4 2i C. 1 2i D. 4 i例4 B考查：复数几何意义、运算【解】目对应的复数是1 + 2i ,就对应的复数为3 i，二疋对应的复数为(3 i) (1 + 2i) =2 3i.又OU OA+ AC 二 C对应的复数为(2 + i) + (2 3i) = 4 2i.例5 (10辽宁)设a,b为实数，若复数1+2i 彳1 a bii，则()A. a 3,b21B. a 3,b 1 C21 a2,b ?2D.a 1,b3例5 A考查：复数相等的概念及有关运算1 2i
4、【解】由1 2ia bi1 i 可得 1 2i (a b)(a b)i，所以aab 1，解得ab 23 b 1 b -2 2二复数运算：设复数 Z| a bi, z2 c di a、b、c、d R，则力卩减法： a bi c di ；乘法：a bi c di；除法：-乞c di【例练巩固】例6 (广东)若复数z满足方程z2 2 0，则z3 ()A. 2、2B. 2、2C. 2 2iD. 2.2i例6 D考查：复数的运算【解】由z2 2 0 z -、2iz32i，故选D.(09安徽)i是虚数单位，若1 7i2 ia bi(a,b R)，则乘积ab的值是(A. 15 B. 3C.3D.15#例7
5、B考查：复数的运算解。7i)(2 i)1 3i，二 a1,b 3,ab 3.例8（安徽）复数雷等于（） 例8 A考查：复数的四则运算【解】1 3i1腑 丄i i（1 .3i） i .练习1 （四川）复数（1 i）3的虚部为（A） 3练习1.D考查:（B）复数的概念、-3运算(C) 2(D)- 2【解】复数13i =1 3i 3i 2 2i,所以它的虚部为一2,选D.练习2. （10陕西）复数z=-L在复平面上对应的点位于（）1 iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限练习2.A考查：复数的运算及几何意义【解】丄 旦卫 1厶，所以点（-,-）位于第一象限1 i 2222 2.复数的相关
6、性质:1.复数的加法、乘法满足交换律、结合律及乘法对加减法的分配律；复数也满足实数的正整 数指数幕运算法则，即：2.共轭复数及运算性质：设z a bi a、bzzZ1乙 gz2 ,z2z203.复数模及性质：设z abi a b2-221zzzzgz，碑2R，则z1?Z2z1 z2 z1 z2z-iz2，其中等号成立的条件是4. i常用的性质:i4k4k 11,i4k 2i,i4k 31,ii,in11 i21 i，1 i1 i，1 i【例练巩固】n ,i例9 （09广东）下列n的取值中，使in 1 （i是虚数单位）的是（）A.n=2B. n=3 C. n=4 D. n=5例9 C考查：复数的
7、运算【解】因为i21 ，所以i41,i3 i ,i5 i .练习3(11.2.3重庆)复数i i1 i.4i ()A.111 1c111 1-iB.iC.iD.222 22 22 2练习3.B考查：复数的运算23解iii41 i1i1 i1 i解1 i1i1i 1 i2 练习4.（四川）复数1 ii3的值是（)(A) 0(B) 1(C)1(D)练习4 A考查：复数的运算2解 口 i3i3 21 i3 i i o1 i （1 i）（1 i）2例10 （11辽宁）a为正实数，i为虚数单位，-2，则a=（）iA.2B.3 C. 2D.1例10 B考查：复数的模、复数运算解-|1 ai| J1 a2
8、2， a 0，故 a 73.i例11（09上海）若复数z满足z（1 i） 1 i（i是虚数单位），其共轭复数z=（）A. iB.-iC.1D.-1例11.A共轭复数、复数的运算a b 1 【解】设z a bi，则(a bi)(1 i) 1 i，即 a b (a b)i 1 i，由，解得 a 0,b1,a b 1所以z i,z i.【综合训练】例12(宁夏)i是虚数单位，i 2i=(2a)2 + (2b 2)2=2 ,a2 + (b 1)2= 2 ,a2 + b2+ 1 2b= 2 2 2b. 2 3iv a + b = 1 1 b 1 a Q 2 2bw 4,二| 乙Z2| 4. L 8i8(
9、)A. 3 3iB. 4 4iC. 3 4iD. 4 3i例12 B考查：复数单位的运算OOQ【解】i 2i 3i L 8i i -2-3i +4+5i - 6 + 7i +8 =4- 4i.练习5如果一个复数与它的模的和为5+3i，那么这个复数是()11 11 一 11 -A.B.31 C. 5 + ,31 D. 5 + 2,3i555练习5 C考查：复数概念【解】设这个复数为a+ bi( a, b F),则| a+ bi| = a2+ b2.由题意知a+ bi + a2 + b2= 5+ 32a+ a + b = 511_11i ,即 a+ a + b + bi = 5+ 3i 二,解得
10、a=, b= 3.二所求复数为三 +b“ 3553i.练习6已知Z1, Z2 C且| Z1| = 1,若 乙+ Z2 = 2i，则| Z1 Z2I的最大值是（）A. 6B.5C. 4D. 3练习6C 考查：复数模的概念、运算2 2【解】设 乙=a+ bi( a, b R, a + b = 1), c+ di( c, d F) , v 乙 + 2i /.(a+ c) + (ba+ c = Q+ d)i = 2i. b+ d = 2c= ad 2 b .|z1 Z2| = |( a c) + (b d)i| = |2 a+ (2 b 2)i|例13 (09上海文)已知复数z a bi (a.b R
11、 )是方程x2 4x 5 0的根.复数w u 3i(u R)满足w z 25，求u的取值范围()A. 2 u 6 B. 2 u 6 C. 2 u 6 D. 2 u 6例13 A考查：复数的运算、复数的模【解】原方程的根为G 2 i . Q a、b R , z 2 i , Q w z (u 3i) (2 i)/(u2p4 2/52 u 6#练习7（ 07上海）已知2 ai,b i是实系数儿一次方程px0的两根,则p,q的值为A、 p 4,q5P 4,q5c、P 4,q4,q练习7 A考查:韦达定理、复数运算【解】因为2 ai, b i （ i是虚数单位）是实系数一元二次方程Pxq 0的两个根，所
12、px q 0的两个根是2 i所以以a= 1 , b=2 ,所以实系数一元二次方程x2P (2 i) (2 i)4,q(2 i)(2 i) 5.。练习8若x C,则方程|x| = 1 + 3i x的解是()D.1 31+3i1 一 3.A2+ 2 i B . X1 = 4, X2= 1 C . 4 + 3i练习8 C考查：复数相等、运算【解】令 x = a+ bi( a, b R),贝U a2+ b2= 1 + 3i a bi所以a2+ b2= 1 a0= 3 ba= 4，解得b= 3故原方程的解为-4+ 3i，故应选例14 ?ABCD中，点A, B, C分别对应复数4+ i,3 + 4i,3 5i，则点D对应的复数是（）A. 2 3iB. 4+ &C. 4 &D. 1+ 4i例14 C考查：复数的加减运算、几何意【解】AB对应的复数为(3 + 4i) (4 + i) = (3 4) + (4 1)i = 1 + 3i，设点D对应的复数为 z，则DC对应的复数为(3 5i)乙由平行四边形法则知 雇DC二一1 + 3i = (3 5i) z, az =(3 5i) ( 1 + 3i) = (3 + 1) + ( 5 3)i = 4 &.
