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1、 课时跟踪训练(二十四) 基础巩固一、选择题1已知两座灯塔A、B与C的距离都是a，灯塔A在C的北偏东20，灯塔B在C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()Aa B.aC.a D2a解析如图所示，由余弦定理可知，AB2a2a22aacos1203a2得ABa.故选B.答案B2如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A、B两点的距离为()A50 m B50 mC25 m D. m解析由题意得B1804510530，由正弦定理得，AB50(m)答案A3两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔
2、A在观察站北偏东40，灯塔B在观察站南偏东60，则灯塔A在灯塔B的()A北偏东10 B北偏西10C南偏东10 D南偏西10解析灯塔A、B的相对位置如图所示，由已知得ACB80，CABCBA50，则605010，即北偏西10.答案B4在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30，测得湖中之影的俯角为45，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)()A2.7 m B17.3 mC37.3 m D373 m解析依题意画出示意图则CM1037.3.答案C5张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见电
3、视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A2 km B3 km C3 km D2 km解析画出示意图如图，由条件知AB246.在ABS中，BAS30，AB6，ABS18075105，所以ASB45.由正弦定理知，所以BS3.答案B6在200米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别为30，60，则塔高为()A. 米 B. 米C. 米 D. 米解析作出示意图如右图，由已知，在RtOAC中，OA200，OAC30，则OCOAtanOAC200tan30.在RtABD中，AD，BAD30，则BDADtanBADtan30，BCCDBD200.答案A二、填空题7一船以每
4、小时15 km的速度向正东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_km.解析如图所示，依题意有：AB15460，MAB30，AMB45，在AMB中，由正弦定理得，解得BM30(km)答案308(2017广东广州市高三综合测试)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.解析如图，由题意知，OA30，OAM45，OAN30，MON30.在RtAOM中，OMOAtanOAM30tan4530.在RtAON中，
5、ONOAtanOAN30tan3010.在MON中，由余弦定理得MN 10(m)答案109(2018山西大学附中检测)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于_m.解析如图，ACD30，ABD75，AD60 m, 在RtACD中，CD60(m)，在RtABD中，BD60(2)(m)，BCCDBD6060(2)120(1)(m)答案120(1)三、解答题10.港口A北偏东30方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B处沿正西方向航行20海里后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离21海
6、里，问此时轮船离港口A还有多远？解在BDC中，BC31，BD20，CD21，由余弦定理知，cosCDB，sinCDB.sinACDsinsinCDBcoscosCDBsin .在ACD中，由正弦定理知AD2115.此时轮船距港口还有15海里能力提升11(2017山西太原模拟)某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45，沿倾斜角为30的斜坡前进1000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60 ，则山的高度BC为()A500(1)m B500 mC500(1)m D1000 m解析过点D作DEAC交BC于E，因为DAC30，故ADE150.于是ADB36015060150.又BAD453015，故AB
7、D15，由正弦定理，得AB500()(m)所以在RtABC中，BCABsin45500(1)(m)答案A12某人在C点测得某塔在南偏西80，塔顶仰角为45，此人沿南偏东40方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30，则塔高为()A15米 B5米 C10米 D12米解析如图，设塔高为h，在RtAOC中，ACO45，则OCOAh.在RtAOD中，ADO30，则ODh，在OCD中，OCD120，CD10，由余弦定理得：OD2OC2CD22OCCDcosOCD，即(h)2h21022h10cos120，h25h500，解得h10或h5(舍)答案C13甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60的方向，两船
8、相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，则甲船应取方向_才能追上乙船；追上时甲船行驶了_海里解析如图所示，设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，则BCtv，ACtv，B120，由正弦定理知，sinCAB，CAB30，ACB30，BCABa，AC2AB2BC22ABBCcos120a2a22a23a2，ACa.答案北偏东30a14. (2017广东省五校协作体高三一诊)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得DAC15，沿山坡前进50 m到达B处，又测得DBC45，根据以上数据可得c
9、os_.解析由DAC15，DBC45可得BDA30，DBA135，BDC90(15)3045，由内角和定理可得DCB180(45)4590，根据正弦定理可得，即DB100sin15100sin(4530)25(1)，又，即，得到cos1.答案115.海岛B上有一座高为10米的塔，塔顶有一个观测站A，上午11时测得一游船位于岛北偏东15方向上，且俯角为30的C处，一分钟后测得该游船位于岛北偏西75方向上，且俯角为45的D处(假设游船匀速行驶)(1)求该船行驶的速度(单位：米/分钟)；(2)又经过一段时间后，游船到达海岛B的正西方向E处，问此时游船距离海岛B多远？解(1)在RtABC中，BAC60
10、，AB10，则BC10米；在RtABD中，BAD45，AB10，则BD10米；在BCD中，DBC751590，则CD 20米所以速度v20米/分钟(2)在RtBCD中，BCD30，又因为DBE15，所以CBE105，所以CEB45.在BCE中，由正弦定理可知，所以EB5米延伸拓展(2017江西宜春段考)某工厂实施煤改电工程防治雾霾，欲拆除高为AB的烟囱，测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得BCD75，BDC60，CD40米，并在点C处的正上方E处观测顶部A的仰角为30，且CE1米，则烟囱高AB_米解析CBD180BCDBDC45，在CBD中，根据正弦定理得BC20，AB1tan30CB120(米)答案120
