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1、第29讲 4.1.1 圆的标准方程学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；能用待定系数法、几何法求圆的标准方程.知识要点：1. 圆的标准方程：方程表示圆心为A（a，b），半径长为r的圆.2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；（2）待定系数法：先根据条件列出关于a、b、r的方程组，然后解出a、b、r，再代入标准方程.例题精讲：【例1】（01年全国卷.文）过点、且圆心在直线xy20上的圆的方程是（ ）.A.（x3）2（y1）24 B.（x3）2（y1）24C.（x1）2（y1）24 D.（x1）2（y1）2
2、4解：由圆心在直线xy20上可以得到A、C满足条件, 再把A点坐标（1，1）代入圆方程. A不满足条件. 所以，选C.另解：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r, 因为圆心C在直线x+y2=0上, b=2a.由|CA|=|CB|，得（a1）2+（b+1）2=（a+1）2+（b1）2，解得a=1，b=1.因此，所求圆的方程为（x1）2+（y1）2=4. 选C.【例2】求下列各圆的方程：（1）过点，圆心在；（2）圆心在直线上的圆C与y轴交于两点解：（1）设所求圆的方程为. 则 ， 解得. 圆的方程为.（2）圆心在线段AB的垂直平分线上，代入直线得，圆心为，半径. 圆C的方程为.【例3】推导以点为圆
3、心，为半径的圆的方程.解：设圆上任意一点，则.由两点间的距离公式，得到.化简即得圆的标准方程：点评：这里的推导方法，实质就是求曲线方程的通法，其基本步骤是：建系设点（建立合适的坐标系，设所求曲线上的动点）写条件（写出动点M所满足的条件）列式（用坐标来表示所写出的条件，列出方程）化为最简特殊说明.【例4】一个圆经过点与，圆心在直线上，求此圆的方程.解：设圆心，则， 解得.圆的半径. 圆的标准方程为.另解：线段AB的中点，即. 直线AB的斜率.所以弦AB的垂直平分线的方程为，即.解方程组，得， 即圆心.圆的半径. 圆的标准方程为.点评：两种解法，都是先求出圆心与半径，第一种解法用设圆心坐标后列方程
4、而求，第二种解法用两条直线的交点求圆心. 由上可得，解法关键都是如何求圆心与半径.第29练 4.1.1 圆的标准方程基础达标1圆的圆心和半径分别是（ D ）.A，1 B，3 C， D，2已知直线l的方程为，则圆上的点到直线l的距离的最小值是（ B ）.A. 3 B. 4 C. 5 D. 63过两点P(2,2),Q(4,2) 且圆心在直线上的圆的标准方程是（A ）.AB. C. D. 4（04年天津卷理7）若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ A ）.A. B. C. D. 5已知圆，一束光线从点经轴反射到圆周的最短路程是（ B ）.A. B. 8 C. D. 10解：圆心坐标(5,7),
5、半径=2，A点相对X轴的对称点是A(-1,-1)，AC与圆C相交于点D，则线段AD的长度就是最短距离。AD的长度 |AD| = |AC| - |CD|=根号(5+1)2+(7+1)2-2=10-2=8即最短是86已知点A(4，5)，B(6，1)，则以线段AB为直径的圆的方程为 . 7（04年江苏卷.14）以点为圆心，与直线相切的圆的方程是 . 能力提高8求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x-y-3=0上圆方程.解：设所求圆的方程为，则 ，解得. 所求圆的方程为(x-4)2+(y-5)2=10.另解：由AB为圆的弦，可知圆心P在AB中垂线x=4上，则由，解得圆心P（4，5）， 半径
6、r=|PA|=. 圆方程为(x-4)2+(y-5)2=10.9求与x轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长等于的圆的方程. 解：因圆心在直线上，故可设圆心. 又 圆与轴相切， ， 从而设圆方程为. 由弦心距， ，解得. 当时，圆方程为. 当时，圆方程为.探究创新10（03年京春文）设A（c，0），B（c，0）（c0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a0），求P点的轨迹.解：设动点P的坐标为P（x，y）, 由=a（a0），得=a， 化简得：（1a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1a2）+（1a2）y2=0.当a1时，得x2+x+c2+y2=0. 整理得：（xc）2+
7、y2=（）2. 当a=1时，化简得x=0.所以当a1时，P点的轨迹是以（c，0）为圆心，|为半径的圆；当a=1时，P点的轨迹为y轴.第30讲 4.1.2 圆的一般方程学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程；能用待定系数法求圆的一般方程.知识要点：1. 圆的一般方程：方程 （）表示圆心是，半径长为的圆. 2. 轨迹方程是指点动点M的坐标满足的关系式.例题精讲：【例1】求过三点A(2,2)、B(5,3)、C(3,1)的圆的方程.解：设所求圆的方程为. 则， 解得. 圆的方程为.【例2】设方程，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及圆心的轨迹方程. 解：配方得，该方
8、程表示圆，则有，得，此时圆心的轨迹方程为，消去m，得，由得x=m+3. 所求的轨迹方程是，【例3】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆上运动，求线段AB的中点轨迹方程. （教材P133 例5 另解）（利用中点坐标公式可更简单）解：设圆的圆心为P(-1,0)，半径长为2，线段AB中点为M(x, y). NM(x,y)AyxPB(4,3)取PB中点N,其坐标为(,)，即N(,). M、N为AB、PB的中点, MNPA且MN=PA=1. 动点M的轨迹为以N为圆心，半径长为1的圆.所求轨迹方程为：.点评：此解为定义法，利用中位线这一几何性质，将所求动点的轨迹转化为到定点的距离等于定长，即
9、圆的定义. 解法关键是连接PB，取PB的中点N，得到MN的长度为定值. 教材中的解法是通过设动点的坐标，然后找出相关的几何条件，得到动点坐标所满足等式即所求轨迹方程.【例4】求经过两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的方程.解：设所求圆的方程为. 当时，则； 当时，则.则， 解得. 圆的方程为.点评：用待定系数法的一般步骤是“设（设含待定系数的方程）列（利用条件列出系数所满足的方程组）求（解方程组）写（写出所求方程）”. 当已知圆上三点或两点时，选用圆的一般方程形式较为简单. 当易知圆心和半径时，选用圆的标准方程形式易求解.第30练 4.1.2 圆的一般方程基础达标1方程表示圆的条件是（
10、 D ）. A. B. C. D. 2M（3，0）是圆内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是（ B ）. A. B. C. D. 解：配方(x-4)+(y-1)=17，圆心C(4,1)，最长的弦就是直径，所以就是MC，MC斜率是(1-0)/(4-3)=1所以是x-y-3=0 3（04年重庆卷.文理3）圆的圆心到直线的距离为（ D ）. A . 2 B. C. 1 D. 4（1999全国文）曲线x2+y2+2x2y=0关于（ B ）. A. 直线x=轴对称 B. 直线y=x轴对称 C. 点（2，）中心对称 D. 点（，0）中心对称5若实数满足，则的最大值是（ A ）. A. B. C. D. 解
11、;易知，d=(x+y)的意义就是圆:(x+2)+(y-1)=9上的点到原点的距离，而该圆的圆心(-2,1)到原点O的距离为5,数形结合可知，(x+y)max=5.+36已知圆C：(x-1)2+y2=1，过坐标原点O作弦OA，则OA中点的轨迹方程是 . （x0）；7（1997上海卷）设圆x2+y24x5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是 . . x+y4=0.解：首先确定圆心O为（2，0），设经过圆心和AB中点的直线方程为：y=kx+b，计算得出：k=1,b=-2因为OPAB，（垂径定理）可知：直线AB斜率为-1，这样算出直线AB的方程为：y=-x+4能力提高8求经过三点、的圆
12、的方程.解：设所求圆的方程为， 、三点在圆上，代入圆的方程并化简，得，解得D7，E3，F2. 所求圆的方程为.9一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程. 解：设是曲线上的任意一点， 点M到点O、A的距离之比为，化简得.探究创新10如图，过圆O：x2+y2=4与y轴正半轴交点A作此圆的切线AT，M为AT上任一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，求MAQ垂心P的轨迹方程. 解：连OQ，则由OQMQ，APMQ得OQAP. 同理，OAPQ.又OA=OQ, OAPQ为菱形, |PA|=|OA|=2.设P(x，y)，Q(x0，y0)，则.又x02+y02=4，
13、x2+(y-2)2=4（x0）.第31讲 4.2.1 直线与圆的位置关系学习目标：能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.知识要点：1. 直线与圆的位置关系及其判定： 方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x或（y），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别；方法二：利用圆心（）到直线的距离，比较d与r的大小.（1）相交 ；（2）相切；（3）相离.2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式例题精讲：【例1】（02年全国卷.文）若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2y22x0相切，则a的值为 .解：将圆x2y22x0的方程化为标准式：（x1）2y21, 其圆心为（1，0），半径为1，由直线（1a）xy10与该圆相切，则圆心到直线的距离， a1. 【例2】求直线被圆所截得的弦长. （P144 练习1题）解：由题意，列出方程组，消y得，得，.设直线与圆交于点，则 =.另解：圆心C的坐标是，半径长. 圆心到直线的距离.所以，直线被圆截得的弦长是.【例3】（04年辽宁卷.13）若经过点的直线与圆相切，则此直线在y轴上的截距是 . 解：圆的
