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1、立体几何第二课一、知识点1.面面平行与垂直的判定、性质定理(1两平面平行的判定定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点=a 8.定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(2平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。(3两平面垂直的判定定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直， 即二面角a a8 =90 = a p .定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直(4两平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。二、例题1.如图，
2、B为AACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、ABCD的重心。(1)求证：平面MNG平面ACD； 求 S函寸MNGSADC2.如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，ZBCD=60，E 是 CD 的中点，PA上底面ABCD，PA = 2.证明：平面PBE上平面PAB;3、如图所示，PAL矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点。兀(1)求证：MN平面 PAD； (2)求证：MNLCD； (3)若/PDA=，求证：MN平面 PCD。44、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：（1） APXM
3、N；（2）平面 MNP平面 A1BD。5、在四面体ABCD中，CB= CD, ADBD, 且 E ,F分别是AB,BD的中点， 求证：（I）直线 EF 面 ACD ； （II）面 EFC面 BCD .6、如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=巨，AF=1，M是线段EF的中点。 （I）求证AM平面BDE； （II）求证AML平面BDF；练习1、如图，已知空间四边形ABCD中，BC = AC, AD = BD，E是AB的中点。求证：（1） AB 平面CDE; （2）平面CDE 1平面ABC。2、正方体ABCDA1B1ClD1中.（1）求证：平面ABD平面BRC； （2）若
4、E、F分别是AACC1的3、如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，E 是AA1的中点求证：A1C /平面BDE ；（2）求证：平面A1AC 1平面bde4、如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且/ASB=/ASC=60,/BSC=90, 求证：平面ABC平面BSC.答案例题1证明：连结 BM、BN、BG 并延长交 AC、AD、CD 于 P、F、H,：M、N、G 分别为ABC、ABD、ABCDBM BN BG 的重心，则有=2 连结PF、FH、PH,有MN#PF，又PFu平面ACD, MN 平面MP NF GHACD,MN平面ACD,同理，MG平面ACD,又MGC
5、MN=M, A平面MNG平面ACDMGBG221111解：由(1)可知 =;,AMG-PH,又 PH= = AD , AMG- AD.同理，NG=： AC,MN=CD.PHBH332333.MNGsACD,其相似比为 1 ： 3. ASmng： SadcT ： 9- 例题2证明：如图所示，连结BD,由ABCD是菱形且ZBCD=60知,BCD是等边三角形。因为E是CD 的中点，所以BEXCD, 又 ABCD，所以BEAB。又因为PAL平面ABCD, 例题31证明：(1)作PD的中点E,连结EN、AE .N、E分别为PC、PD的中点，ANE/ CD2VCD/AB,ANE/1AB 即 NE/AM A
6、 四边形 AMNE 为平行四边形 AMN/AE= =/ = = AE u平面PAD, MN平面PAD,A MN 平面PAD(2) VPA平面 ABCD, AD 是 PD 在平面 ABCD 内的射影，CDLAD ACDXPD ADCPD=D ACD 平面 PAD ACDXAE MNAEA MN CD(3) VZPAD= - ,ZPDA= APA=AD PE=DE AAEXPD MNAE, AMNXPD24VMNXCD PDCCD=DAMN平面 PCD例题4证明：(1) VP D1平面ADD1 A1D, A为PA在平面内的射影 AAPA D1 又 VA D/BfBCNM, A A D/NM AAP
7、XMN (2)VPNBDBQ/BD APNBD由(1) A D/NM 且 MNCPN=N, A DCBD=D A平面 MNP 平面 A1BD 例题5证明(I) V E,F分别是AB,BD的中点，AEF是ABD的中位线，AEFAD, VEF*面ACD , ADu 面 ACD ,A直线 EF面 ACD . (II)V ADBD , EFAD,A EFBD. VCB=CD, F 是 BD 的中点，ACFLBD.又 EF CF=F,ABD面 EFC.VBDu 面 BCD,A面 EFC面 BCD .例题6解:(I )记AC与BD的交点为O,连接OE, VO、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，A四
8、边形 AOEM是平行四边形，AAMOEV OE u平面BDE, AM *平面BDE,AAM平面BDE。(II)连结 MOVAB=v2, AF=1AAO=BO= ：BD=1，即四边形 AFMO 是正方形 A AM OF 而 OM 平面ABCD, OABDAAMBDV BDHOF=OAAM平面 BDFBC = AC IAD = BD In CE AB 同理，n DE AB 又v ce c de = E A AB 平AE = BE IAE = BE I练习1证明：(1)面CDE(2)由(1)有AB 平面CDE又V AB 平面ABC ,A平面CDE 平面ABC 证明：(1)由B1B/DD1,得四边形B
9、B1D1D是平行四边形, 誓日仰。，又BD平面B1D1C, B1D1 u平 面 B1D1C,ABD 平面 B1D1C .同理 *D 平面 BRC .而 ADHBD=D, 平面 ABD 平面 BfD.(2)由 BDBD,得 BD 平面 EBR.取 BB1 中点 G,AEBG .从而得 B AG,同理 GF/AD. A AG/DF.BiE/DF.DF平面 EBfl.A平面 EBR平面 FBD.练习3证明：(1)设 AC cBD = O，- e、O 分别是 AA、AC 的中点，AC EO 又 AC Q 平面bde , 111EO u 平面BDE ,.AC 平面BDE (2)V AA 平面 ABCD , BD u 平面 ABCD , AA BD111又 BD AC , AC C AA1 = A ,BD 1 平面 AAC , BD u 平面 BDE , /.平面 BDE 1 平面 AAC11练习4证明.SB=SA=SC, ZASB=ZASC=60AAB=SA=AC 取 BC 的中点 O ,连 AO、SO ,则 AOBC , SO v2BC , A.ZAOS 为二面角的平面角，设 SA=SB=SC=a ,又ZBSC=90, ABC 2 a , SO= 2 a ,11AO2=AC2OC2=a2 2a2=2a2 , A SA2=AO2+OS2 , AZAOS=90,从而平面 ABC平面 BSC.
