第五章 金融合约理论

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1、第五章金融合约理论在本章中我们将讨论金融合约(合同)模型，我们先介绍完全合约理论中的 两个经典模型：委托代理模型(principal-agent modeDCI有成本的状态查证模型(costly-state-verification model, CSV)，然后介绍不完全合约理论中的动态债务 模型(dynamic debt model)o本章的内容较抽象，数学基础较差的读者可以跳过 此章。完全合约理论中的两个经典模型将“合约形式的最优选取内生化”(endogenize the form of contracts)，即在给定的经济环境下寻找最优的合约形式。 而不完全合约理论假设合约存在不完全性(

2、即不是最优的合约形式)，因而在一 定程度上假定了合约的形式。例如，在有成本的状态查证模型中，我们将推导出 模型中的最优合约，然后证明这个最优融资合约就是债务合约。然而，在不完全 合约理论的动态债务模型中，一个基本的假设就是，公司的外部融资合约就是债 务合约。因为在完全合约理论中，合约的形式都是内生最优的，所以他是经济学 的最高境界。但是它比较难和复杂，常常解不出最优合约。即使解出来，也不一 定是我们常见的合约，这时就很难用它来解释现实世界。不完全合约理论更贴近 现实，但它的理论基础不太严谨，而且不能说明合约的哪些内容是不完全的。5.1委托代理模型委托代理理论是20世纪60年代末70年代初发展起

3、来的经济理论。我们在 第3章中论述资本结构的委托代理理论时已经给出过委托代理理论的一个最简 单的模型(即经理的努力程度的问题)。在第3章中，我们假设经理的薪酬合约(compensation contract)是线性的。在本节中我们将探讨努力程度这个代理问题 的一般模型，并解出这个问题的最优合约，这个最优合约也许不是线性的。也就 是说，我们要探讨，当经理的努力程度不能被其他人观测而只有他努力的结果可 以被观察时，股东和经理之间的最优合约会采取什么形式？这个理论能够帮助我 们理解现实中的企业经理的薪酬合约吗？下面我们先定义这个问题的经济环境。企业的生产技术假设企业的产出为随机变量X = X ，其中

4、X为随机变量可能取的数值(z=1, 2, n ；与X相联系的概率为p (a)，其中a属于一个区间A，代表代理人 的努力程度；产出X根据模型的应用不同可以有多种不同的解释，它可以是公司 的股价、公司的利润或是其他可度量的指标。为了简化起见，我们在本节中假设 是离散分布，用连续分布函数会使得模型更复杂，但在模型的经济含义上不会有 太多的贡献。合约合约我们用o= 3 来表示。当X = X 时，代理人的补偿收入就是O。选择 一个合约的形式就是选择o=3 这一组数。其实，在更一般的情况下，O可以 是X的一个函数，3 = f (X)，但我们在本节中用离散的形式加以表达。给定的这 个模型里只有X是可以查证的

5、，而合约只能定在可查证的变量之上，所以这是合 约的最一般形式。我们的目的就是，从理论上求出最优合约的形式，并论述其性 质。偏好对于委托人(principal)而言，其效用函数为u (ro, a) = u ( x -ro ) p (a)；对 于代理人(agent)而言，其效用函数为y (ro, a) = v (ro ) p (a ) - a。他们的目标 都是自己的效用函数的极大化。我们的目标是，寻找经济上最优的薪酬合约。以上的经济环境会使我们受到 一定的限制。所以我们要解的是委托人选择薪酬合约ro的有约束的最优化问题。 这里的约束条件有两个：代理人的参与约束；给定薪酬合约后，代理人的激励兼 容约

6、束。我们在第3章讨论股权融资的代理成本时，解过一个类似的问题，主要 的区别是，在本节中，我们不假设合约是线性的。ro可以是x的任何形式的函数。 这里最优化问题可以表示如下。合约最优化问题max U (ro,a)s.tya(ro , a) v*(5.1)a e arg max V (ro , a)(即给定ro，a，将V (ro , a) 极大化，这就是激励兼容条件) 式中，v*为保留效用(reservation utility)，它是代理人(经理)不加入该公司、 在市场上找到同类工作可以得到的效用水平。我们将满足问题(5.1)的两个约 束条件的选择(ro, a)的集合称为B。对问题(5.1)的直

7、接求解很难，原因是，它的激励兼容约束条件比较复杂， 不是通常的等式或不等式，所以不能用一般的解最优化问题的方法(Kuhn-Tucker 方法等)求解。一个解决的办法是，用将V (ro , a)对a极大化的一阶条件来代替 激励兼容约束，也就是说，对问题(5.1)进行所谓的一阶处理(first-order approach)o放松的优化问题(一阶处理)max U (ro,a)s V (ro , a) v *(5.2)V (ro , a) = 0式中，V为V (ro , a)对于a的一阶导数；我们将满足问题(5.2)的两个约束条件 的选择(TO , a)的集合称为C。由于一阶条件是最优化的必要条件，

8、它可能同时包 括极大和极小的情况，所以C是包容B的。也就是说，我们把约束条件放松了， 这样问题(5.2)的解也有可能不是问题(5.1)的解。英国经济学家Mirrlees(1975) 首先指出了这个问题。但在什么条件下问题(5.1)和问题(5.2)的解是相同(一 阶处理是有效的)的，这个问题困扰了学术界十多年。1985年美国经济学家 Rogerson提出了一种新的解法。这种方法使他找到了使得问题(5.1)和问题(5.2) 的解相同的经济条件。我们现在用他的思路和方法来阐述这个问题。我们首先将 最优化问题的约束继续放松。进一步放松的优化问题max u s a)5.t(w , a) v*(5.3)V

9、 (w , a) 0我们将第二个约束条件由问题(5：2)里的等式变为问题(5.3)中的不等式， 所以约束条件被继续放宽了。有了这个不等式就可以确定拉格朗日乘数的符号为 正，这对证明最优合约的一些性质很有帮助。我们将满足进一步放松后的问题 (5.3)中的两个约束条件的(w,a)的集合称为d，很显然，d包含c。由此我们可以得出下面的结论：如果(w , a)是问题(5.3)的解而且又在B里 (即满足问题(5.1)的约束条件)，那么它一定就是问题(5.1)的解，这时，问 题(5.1)和问题(5.2)的解相同，从而确保了一阶方法的有效性。我们下面的 证明就是用这个思路进行的：先找出问题(5.3)的解，然

10、后加上一定条件后， 证明这个解在b里面。为此我们需要一些条件。确保一阶处理有效性的充分条件有两个。条件1单调似然比率条件 (monotone likelihood ratio condition, MLRC)：如 果对于任何的a a, p (a)/p( a )为i的非递增型函数，则概率分布p (a)满足单 iii调似然比率条件。很多常用的分布，例如正态分布和均匀分布，如果以它们的均值来计算的 话，都满足单调似然比率条件。这种单调性与我们前面讨论的努力程度模型相结 合，就可以得出高努力程度得到高收益的概率更高。Milgrom(1981)证明了 MLRC条件又等同于定理对于所有的a e A,x G

11、(a | x，)，其中，G(a | x)是给定x 的先验分布(prior distribution)， 即G (a | x) 一阶随机占优于G (a | x)。他还证明了 MLRC条件预示着，对于所有 的a，p (a)/p (a)是i的非递减性函数。具体的证明请参见Milgrom(1981)。引理1 MLRC条件可以推出随机占优条件(stochastic dominance condition, SDC)： f (a)(F() a = Z()p a是x的分布函数；F (a)对于所有的/和a都是非 正的。777其中，F对a的单调性，几何上表示随着努力程度a的增加，分布函数在任 何一个x上都会下降

12、，也就是分布函数最终达到1要更靠右边，如图5.1所示。 所以，产生高收益x的可能性也越大。这也是随机占优的几何表示。我们都知道， i对于非随机的生产函数x = f (a)，高努力程度导致高收益的表达方式是 f (a) 0 :。而这个表达方式在随机情况下的表达方式就是F (a)非正，或是说， 较高的a的F (a)随机占优。请注意，非随机条件和它的随机7对等条件的符号正 好相反。随机占优条件表达了在随机的情况下，越高的努力程度会使得越高的收 益成为可能。这就是努力程度边际收益为正在随机情况下的表达形式。条件 2 分布函数凸性条件(convexity of distribution function

13、 condition, CDFC)：对于所有的/和a，F (a)都是非负的。这个条件是非随机情况下，生产函数边际效率递减性质(门a) 0 (拉格朗日 乘数)，使得：对U +人(V - V*) + 5U的每个求导，于是有一 p (a) u,(x 一)+ 人 v ,(w ) p (a) + 5 v (w ) p (a) = 0ii ii ii i对U +人(V - V*) + 5 V的a求导，于是有U +XV +5V = 0引理3 w是i的非递减函数也就是说，代理这的报酬是他收益的递增函数。简要证明提示：我们知道问题(5.4)可以被写成u(x -w )/v(w ) = X+5 p(a)/p (a)

14、。假设引理3不成立的话，那么问题(5.4) iiiii的左边根据我们的模型和条件对i是递减的，而右边则是非递减的。这个矛盾说 明，我们的假设不对，所以引理3一定成立。引理4最优情况下V 1 时， = v (w ) 一 v (w ) 0，而且 = v (w )。 i1 ji对V两次求导，有V =-Z A F；(a) 0，那么它对应的约束条件一定是等式，即得 证。如果5 = 0，那么从问题(5.4)可以看出，对于所有的i，x-w是非递减的。 U 可以写成 IaS p(a) = -ZAF，(a) 0，其中，A = u (x -w ) - u (x -w ) 0。由 ai ji iii ii-1 i-1i1 ji引理2有，U +人V +5V = 0，其中，人0，U 0，且5 = 0可以使得V 0，因此，V = 0。所以在MLRC和CDFC两个条件都满足时，我们证明了在问题(5.3)的解 (w,a)中的a也满足将V (w,a)极大化的一阶条件和二阶条件，也是问题(5.1)的 解。所以，我们就证明了下面的命题。命题1假设MLRC和CDFC两个条件都满足，而且(w,a)是问题(5.3)的 解，那么，(w,a)也是问题(5.1)和问题(5.2)的解。并且，经理的工资报酬和 公司收益之间是非递减关系。对于最优合约O (X)的形状，我们只能得出它是收益X的递增函数，即X越高 o也越高。解出来的最优