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1、详细答案附后解析几何的解题策略选择吴江高级中学 陈群峰一、复习要点解析几何中,一类与两直线斜率有关的圆锥曲线综合问题求解的基本策略.二、基础训练1. 过原点作直线与椭圆交于两点,点是椭圆上一点,且直线斜率均存在,则 .2. 过原点作两条相互垂直的直线分别与椭圆交于与,则四边形面积的最小值为 .三、典型例题例1 (2013苏北四市期末18题)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的焦距为2,且过点.(1) 求椭圆的方程;(2) 若点,分别是椭圆的左、右顶点,直线经过点且垂直于轴,点是椭圆 上异于,的任意一点,直线交于点()设直线的斜率为直线的斜率为,求证:为定值;()设过点垂直于的直线为.求证:直线过定
2、点,并求出定点的坐标.例2 已知中心在原点的椭圆过点和点,(1)求椭圆的标准方程(2)是椭圆上的两个动点,若直线的斜率存在,且和为,求证:直线过定点.例3(2013常州期末18题)如图,在平面直角坐标系中,已知分别是椭圆E:的左、右焦点,A,B分别是椭圆E的左、右顶点,且. (1)求椭圆E的离心率;(2)已知点为线段的中点,M 为椭圆上的动点(异于点、),连接并延长交椭圆于点,连接、并分别延长交椭圆于点、,连接,设直线、的斜率存在且分别为、,试问是否存在常数,使得恒成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.四、巩固习题1.已知椭圆的离心率,是椭圆的左、右顶点,是椭圆上不同于的一点,直线斜倾角
3、分别为、,则= 2. (2013南通期末)已知左焦点为F(1,0)的椭圆过点E(1,)过点P(1,1)分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点(1)求椭圆的标准方程; (2)若P为线段AB的中点,求k1;(3)若k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标3.(2013南京市、盐城市高三期末)如图, 在平面直角坐标系中, 已知椭圆经过点,椭圆的离心率, 、分别是椭圆的左、右焦点.(1)求椭圆的方程;(2)过点作两直线与椭圆分别交于相异两点、. 若的平分线与轴平行, 试探究直线的斜率是否为定值?若是, 请给予证明;若不是, 请说明理由.4.(201
4、2镇江高考模拟)已知椭圆G:(ab0)的离心率为,右焦点F(1,0)过点F作斜率为k(k0)的直线l,交椭圆G于A、B两点,M(2,0)是一个定点如图所示,连AM、BM,分别交椭圆G于C、D两点(不同于A、B),记直线CD的斜率为()求椭圆G的方程;()在直线l的斜率k变化的过程中,是否存在一个常数,使得恒成立?若存在,求出 这个常数;若不存在,请说明理由五、参考答案例1 解:由题意得 ,所以,又, 消去可得,解得或(舍去),则,所以椭圆的方程为()设,则,因为三点共线,所以, 所以,因为在椭圆上,所以,故为定值()法一:直线的斜率为,直线的斜率为,则直线的方程为, =,所以直线过定点 法二:
5、直线方程为则.,则直线方程为:,即,直线过定点.例2 解:(1)设椭圆方程:,椭圆过点和点,则,解得,所以椭圆的标准方程为(2)设直线的斜率分别为和(且) ,则直线的方程为,设由,消去得,由题意,则,同理可求得,法一:取得,求得直线方程为, 取得,求得直线方程为,求得以上两直线交点为.则 , .即点共线. 直线过定点.法二: .则直线方程为化简得,所以直线过定点.例3解:(1),.,化简得,故椭圆E的离心率为.(2)存在满足条件的常数,.点为线段的中点,从而,左焦点,椭圆E的方程为.设,则直线的方程为,代入椭圆方程,整理得,.,.从而,故点.同理,点.三点、共线,从而.从而.故,从而存在满足条
6、件的常数,.六、选题说明很多学生对于解析几何综合问题几乎到了谈虎色变的地步.究其原因,可以概括为三条:“想不到”,“消不去”和“算不对”.“想不到”的客观原因是解析几何综合问题包含的信息量大,既有几何关系,又有代数关系,两个领域之间的联系隐藏性强;主观原因是学生没有掌握解析几何的思维特征与基本思想,对于题目中的几何关系、代数关系不能准确转化.解析几何很多问题的解题思路最终可归结为设点或设斜率,那么什么时候该设点,什么时候该设斜率?其实,原则上很多问题设点,设斜率都可行的.那么,怎样选择更适合一般学生的求解思路,让其能更快地找到解题的方向,看到解题的希望,这是我们应该探索的问题.本节课从两个基础
7、训练开始,基础训练1是用设点求解的典型题(当然也可以用特殊值法),基础训练2是用设斜率求解的典型题.归纳两题特点:基础训练1是探求斜率关系,设点以表示斜率;基础训练2中两直线斜率关系确定,设斜率以表示点.进而总结一般的设法策略.例1的第(2)小题的,是基础训练1的直接变式,第(2)小题的学生做时设点,设斜率都可以轻松解决,教师可对这两种策略进行比较,进而得出当斜率关系确定时,一般设斜率比较简单.例2的本质是求两点,基本策略是设斜率,能让学生迅速找到解题方向,但随之而来的是计算上的困难.通过两种方法求定点,让学生感受定点产生技巧和基本的运算技巧.例3是探求斜率关系,采取设点的策略,把探求斜率关系转化为探求点之间的关系.在探求点与点之间关系时,采取的是设斜率求点的策略.巩固习题1是基础训练1的变式,巩固习题2,3是例2的变式,巩固练习4是例3的变式.不足之处,敬请各位专家批评指正!1