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1、集合的概念和表示方法1集合的概念和表示方法教材分析集合概念的基本理论,称为集合论.它是近、现代数学的一 个重要基础.一方面,许多重要的数学分支,如数理逻辑、 近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等,都建 立在集合理论的基础上.另一方面,集合论及其反映的数学 思想,在越来越广泛的领域中得到应用.在小学和初中数学 中,学生已经接触过集合,对于诸如数集(整数的集合、有 理数的集合)、点集(直线、圆)等,有了一定的感性认 识.这节内容是初中有关内容的深化和延伸.首先通过实例 引出集合与集合元素的概念,然后通过实例加深对集合与集 合元素的理解,最后介绍了集合的常用表示方法,包括列举 法,描述法,
2、还给出了画图表示集合的例子.本节的重点是 集合的基本概念与表示方法,难点是运用集合的两种常用表 示方法-列举法与描述法正确表示一些简单的集合.教学目标1. 初步理解集合的概念,了解有限集、无限集、空集的意 义,知道常用数集及其记法.2. 初步了解属于关系的意义,理解集合中元素的性质.3. 掌握集合的表示法,通过把文字语言转化为符号语言(集 合语言),培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力. 任务分析这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解,这里主要根 据实例引出概念.介绍集合的概念采用由具体到抽象,再由 抽象到具体的思维方法,学生容易接受.在引出概念时,从 实例入手,由具体到抽象,由浅入深
3、,便于学生理解,紧接 着再通过实例理解概念.集合的表示方法也是通过实例加以 说明,化难为易,便于学生掌握.教学设计一、问题情境1. 在初中,我们学过哪些集合?2. 在初中,我们用集合描述过什么?学生讨论得出:在初中代数里学习数的分类时,学过正数的集合,负数 的集合;在学习一元一次不等式时,说它的所有解为不等 式的解集.在初中几何里学习圆时,说圆是到定点的距离等于定长的点 的集合.几何图形都可以看成点的集合.3. 集合一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近? 学生讨论得出:全体、一类、一群、所有、整体,4. 请写出小于10的所有自然数.0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
4、这些可以构成一个集合.5. 什么是集合?二、建立模型1. 集合的概念(先具体举例,然后进行描述性定义)(1)某种指定的对象集在一起就成为一个集合,简称集.(2)集合中的每个对象叫作这个集合的元素.(3)集合中的元素与集合的关系:a是集合A中的元素,称a属于集合A,记作aA;a不是集合A中的元素,称a不属于集合A,记作aA.例:设 B=1, 2, 3,贝Q 1B, 4B.2. 集合中的元素具备的性质(1)确定性:集合中的元素是确定的,即给定一个集合,任 何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了.如上例, 给出集合B, 4不是集合的元素是可以确定的.(2)互异性:集合中的元素是互异的,即集合中的
5、元素是没 有重复的.例:若集合A=a,b,则a与b是不同的两个元素.(3)无序性:集合中的元素无顺序.例:集合1, 2与集合2, 1表示同一集合.3. 常用的数集及其记法全体非负整数的集合简称非负整数集(或自然数集),记作N.非负整数集内排除0的集合简称正整数集,记作N*或N+;全体整数的集合简称整数集,记作Z;全体有理数的集合简称有理数集,记作Q;全体实数的集合简称实数集,记作R.4. 集合的表示方法问题如何表示方程x2 3x + 2 = 0的所有解?(1) 列举法列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法.例:x2 3x + 2 = 0的解集可表示为1, 2.(2) 描述法描述法是用确定的条
6、件表示某些对象是否属于这个集合的方 法.例:x2 3x + 2 = 0的解集可表示为x I x2 3x + 2 = 0. 不等式x 32的解集可表示为x I x 32. Venn图法例:x2 3x + 2 = 0的解集可以表示为(1, 2).5. 集合的分类(1) 有限集:含有有限个元素的集合.例如,A=1, 2.(2) 无限集:含有无限个元素的集合.例如,N.(3) 空集:不含任何元素的集合,记作.例如,x|x2 + 1 = 0,xR=.注:对于无限集,不宜采用列举法.三、解释应用例题1. 用适当的方法表示下列集合.(1) 由1,2, 3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重 复)所组成的一
7、切自然数.(2) 平面内到一个定点O的距离等于定长l (l0)的所有 占P八、1 .(3) 在平面a内,线段AB的垂直平分线.(4) 不等式2x 8V2的解集.2. 用不同的方法表示下列集合.(1) 2, 4, 6, 8(2) x I x2 + x1 = 0.(3) xeN| 3VxV73. 已知A=xN| 66 xN) .试用列举法表示集合A.(A=0, 3, 5)4. 用描述法表示在平面直角坐标中第一象限内的点的坐标 的集合练习1. 用适当的方法表示下列集合(1) 构成英语单词mathematics (数字)的全体字母.(2) 在自然集内,小于1000的奇数构成的集合.(3) 矩形构成的集
8、合.2. 用描述法表示下列集合.(1) 3, 9, 27, 81,.(2)四、拓展延伸把下列集合翻译成数学文字语言来叙述.(1) (x, y)| y = x2 + 1,xR(2) y | y = x2 + 1,xR.(3) (x, y)| y = x2 + 1,xR(4) x | y = x2 + 1,yN*.点 评这篇案例注重新、旧知识的联系与过渡,以旧引新,从学生 的原有知识、经验出发,创设问题情境;从实例引出集合的 概念,再结合实例让学生进一步理解集合的概念,掌握集合 的表示方法.非常注重实例的使用是这篇案例的突出特 点.这样做,通俗易懂,使学生便于学习和掌握.例题、练 习由浅入深,对培养学生的理解能力、表达能力、思维能力 大有裨益.拓展延伸注重数学语言的转化和训练,注重区分 形似而质异的数学问题,加强了学生对数学概念的理解和认 识.