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1、1.2.1 解决有关测量距离的问题项目内容课题 .2.1解决有关测量距离的问题修改与创新教学目的一、知识与技能可以运用正弦定理、余弦定理等知识和措施解决某些有关测量距离的实际问题，理解常用的测量有关术语,如:坡度、俯角、方向角、方位角等.二、过程与措施1.一方面通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为后来的几节课做良好铺垫另一方面结合学生的实际状况，采用“提出问题引起思考摸索猜想总结规律反馈训练”的教学过程,根据大纲规定以及教学内容之间的内在关系,铺开例题,设计变式,同步通过多媒体、图形观测等直观演示，协助学生掌握解法,可以类比解决实际问题对于例这样的开放性题目要鼓励学生讨论,引导学生从多角度发现问
2、题并进行合适的指点和矫正通过解三角形的应用的学习,提高解决实际问题的能力三、情感态度与价值观1激发学生学习数学的爱好,并体会数学的应用价值；2.通过解斜三角形在实际中的应用,规定学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题,以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用.同步培养学生运用图形、数学符号体现题意和应用转化思想解决数学问题的能力.教学重、难点教学重点 分析测量问题的实际情景,从而找到测量距离的措施.教学难点 实际问题向数学问题转化思路的拟定,即根据题意建立数学模型,画出示意图教学准备多媒体课件教学过程导入新课师 前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这样一种问题,“遥不可及的月亮离我们
3、地球究竟有多远呢?”在古代,天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离,是什么神奇的措施摸索到这个奥秘的呢？我们懂得，对于未知的距离、高度等,存在着许多可供选择的测量方案，例如可以应用全等三角形、相似三角形的措施,或借助解直角三角形等等不同的措施，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些措施会不能实行如由于没有足够的空间,不能用全等三角形的措施来测量，因此,有些措施会有局限性于是上面简介的问题是用此前的措施所不能解决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用,一方面研究如何测量距离推动新课解决实际测量问题的过程一般要充足认真理解题意，对的作出图形,把实际问题里的条件和所求转
4、换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解例题剖析【例1】如图,设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离,测量者在的同侧，在所在的河岸边选定一点，测出AC的距离是5，BAC=5，AC求A、B两点的距离.(精确到.1 m)师（启发提问）1:A中，根据已知的边和相应角，运用哪个定理比较恰当?师(启发提问)2：运用该定理解题还需要哪些边和角呢？请学生回答生 从题中可以懂得角A和角C，因此角B就可以懂得,又由于C可以量出来，因此应当用正弦定理.生 这是一道有关测量从一种可达到的点到一种不可达到的点之间的距离的问题,题目条件告诉了边AB的对角，A为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易
5、根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出A边解:根据正弦定理，得，65.7(m）.答:、两点间的距离为65.7米知识拓展变题：两灯塔A、B与海洋观测站的距离都等于Akm，灯塔A在观测站C的北偏东3,灯塔B在观测站C南偏东6,则A、B之间的距离为多少?教师指引学生画图，建立数学模型解略:km.【例】如图，A、两点都在河的对岸(不可达到),设计一种测量、B两点间距离的措施 教师精讲这是例1的变式题，研究的是两个不可达到的点之间的距离测量问题一方面需要构造三角形,因此需要拟定、D两点根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边即可求出另两边的措施,分别求出AC和B，再运用余弦定理可以计算出A、
6、的距离.解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD,并且在C、D两点分别测得CA，ACD=,CDB=,=,在ADC和BDC中，应用正弦定理得,计算出AC和BC后,再在B中,应用余弦定理计算出A、B两点间的距离.活动与探究尚有无其她的措施呢?师生一起对不同措施进行对比、分析知识拓展若在河岸边选用相距4米的C、两点,测得BCA=60，AD=30，B=，BA=60，略解:将题中各已知量代入例2推出的公式，得B 教师精讲师 可见，在研究三角形时,灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案,但有些过程较繁复,如何找到最优的措施，最重要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式学生阅
7、读课本4页，理解测量中基线的概念,并找到生活中的相应例子师 解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面均有非常广泛的应用,如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳,就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力.下面，我们再看几种例题来阐明解斜三角形在实际中的某些应用.【例3】如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转时,通过连杆B的传递,活塞做直线往复运动，当曲柄在B0位置时，曲柄和连杆成一条直线,连杆的端点A在A处，设连杆AB长为340 mm，曲柄CB长为85 mm,曲柄自CB按顺时针方向旋转8，求活塞移动的距离（即连
8、杆的端点A移动的距离A0).(精确到1mm） 师 用实物模型或多媒体动画演示,让学生观测到B与B0重叠时，A与重叠,故A0CA+CB=425 mm,且A0A=0C-AC师 通过观测你能建立一种数学模型吗？生 问题可归结为:已知AB中， B=85 m,A=34 mm,C80,求AC师 如何求AC呢?生 由已知A、BC，可先由正弦定理求出,再由三角形内角和为80求出，最后由正弦定理求出AC解：（如图）在ABC中，由正弦定理可得.246 2由于CAB,因此A为锐角=15, B=180-(AC）5又由正弦定理，344.3(mm).A0A =0C C (AB +BC)-C (40+8)44.3=80.7
9、1(mm）答：活塞移动的距离为81 mm.师 请同窗们设AC,用余弦定理解之，课后完毕知识拓展变题:我舰在敌岛南偏西0相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西的方向以0海里/时的速度航行问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才干用2小时追上敌舰？师 你能根据方位角画出图吗?生（引导启发学生作图)师 根据题意及画出的方位图请人们建立数学模型.生例题归结为已知三角形的两边和它们的夹角,求第三边及其他角.解:如图，在ABC中,由余弦定理得BC=AC2+AB2AAcosBAC=202+122-210()7,BC =28,我舰的追击速度为14海里/时又在ABC中,由正弦定理得.答:我舰航行的方向为北偏东5
10、0-arcin. 措施引导师你能归纳和总结解斜三角形应用题的一般措施与环节吗？生分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图建模：根据已知条件与求解目的，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一种解斜三角形的数学模型.求解:运用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解.检查：检查上述所求的解与否符合实际意义，从而得出实际问题的解生 即解斜三角形的基本思路:师 解斜三角形应用题常用的会有哪几种状况？生 实际问题经抽象概括后，已知与未知量所有集中在一种三角形中，一次可用正弦定理或余弦定理解之.生 实际问题经抽象概括后,已知量与未知量波及两个三角形中，这时需按顺序逐渐在两个三角形中
11、求出问题的解生 实际问题经抽象概括后，波及的三角形只有一种，但由题目已知条件解此三角形需持续使用正弦定理或余弦定理.某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观测到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶.公路的走向是M站的北偏东40.开始时，汽车到A的距离为1千米，汽车迈进20千米后,到的距离缩短了10千米.问汽车还需行驶多远，才干达到汽车站？解:由题设，画出示意图，设汽车迈进20千米后达到处.在ABC中，A=31,BC=20,B=1,由余弦定理得,则,，因此siAC=in（0-C)=si10o -cos12si =在MAC中,由正弦定理得，从而有MB= MCBC=15.答：汽车还需要行驶15千米才
12、干达到M汽车站.课堂小结通过本节学习,规定人们在理解解斜三角形知识在实际中的应用的同步,掌握由实际问题向数学问题的转化,并提高解三角形问题及实际应用题的能力.板书设计解决有关测量距离的问题.提出问题 .分析问题 演示反馈3.解决问题 总结提炼教学反思解斜三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识对于解斜三角形的实际问题,我们要在理解某些术语（如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等）的基本上,对的地将实际问题中的长度、角度当作三角形相应的边和角，发明可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决.学习这部分知识有助于增强学生的数学应用意识和解决实际问题的能力.
