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1、名校精品资料数学学案22简单的三角恒等变换导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换自主梳理1二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2_；(2)cos 2_11_；(3)tan 2_ (且k)2公式的逆向变换及有关变形(1)sin cos _cos ；(2)降幂公式：sin2_，cos2_；升幂公式：1cos _，1cos _；变形：1sin 2sin2cos22sin cos _.自我检测1(2010陕西)函数f(x)2sin xcos x是 ()A最小正周期为2的奇函数B最小正周期为2的偶函数C最小正周期为的奇函数D
2、最小正周期为的偶函数2函数f(x)cos 2x2sin x的最小值和最大值分别为 ()A3,1B2,2C3，D2，3函数f(x)sin xcos x的最小值是 ()A1BC.D14(2011清远月考)已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sin Asin B ()A有最大值，最小值0B有最小值，无最大值C既无最大值也无最小值D有最大值，无最小值探究点一三角函数式的化简例1求函数y74sin xcos x4cos2x4cos4x的最大值和最小值变式迁移1(2011泰安模拟)已知函数f(x).(1)求f的值；(2)当x时，求g(x)f(x)sin 2x的最大值和最小值探究点二三角函数式的求值例2已知
3、sin(2)sin(2)，(，)，求2sin2tan 1的值变式迁移2(1)已知是第一象限角，且cos ，求的值(2)已知cos()，求cos(2)的值探究点三三角恒等式的证明例3(2011苏北四市模拟)已知sin(2)3sin ，设tan x，tan y，记yf(x)(1)求证：tan()2tan ；(2)求f(x)的解析表达式；(3)若角是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域变式迁移3求证：.转化与化归思想的应用例(12分)(2010江西)已知函数f(x)sin2xmsinsin.(1)当m0时，求f(x)在区间上的取值范围；(2)当tan 2时，f()，求m的值【答题模板】解(1
4、)当m0时，f(x)sin2xsin2xsin xcos x，3分由已知x，得2x，4分所以sin，5分从而得f(x)的值域为.6分(2)f(x)sin2xsin xcos xcos 2xsin 2xcos 2xsin 2x(1m)cos 2x，8分由tan 2，得sin 2，cos 2.10分所以，11分解得m2.12分【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；
5、(3)分式中的分母尽量不含根式等1求值中主要有三类求值问题：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角2三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，
6、和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等(2)常用的拆角、拼角技巧如：2()()，()，()，是的二倍角等(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异 (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2011平顶山月考)已知0，3sin 2sin ，则cos()等于 ()A.BC.D2已知tan()，tan，那么tan等于 ()A.B.C.D.3(2011石家庄模拟)已知cos 2 (其中)，则sin 的值为 ()A.BC
7、.D4若f(x)2tan x，则f的值为 ()AB8C4D45(2010福建厦门外国语学校高三第二次月考)在ABC中，若cos 2B3cos(AC)20，则sin B的值是 ()A.B.C.D1题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6(2010全国)已知为第二象限的角，且sin ，则tan 2_.7函数y2cos2xsin 2x的最小值是_8若，则cos sin 的值为_三、解答题(共38分)9(12分)化简：(1)cos 20cos 40cos 60cos 80；(2).10(12分)(2011南京模拟)设函数f(x)sin xcos xcos xsin.(1)求f(x)的最小
8、正周期；(2)当时，求函数f(x)的最大值和最小值11(14分)(2010北京)已知函数f(x)2cos 2xsin2x4cos x.(1)求f()的值；(2)求f(x)的最大值和最小值答案 自主梳理1(1)2sin cos (2)cos2sin22cos22sin2(3)2.(1)sin 2(2)2cos22sin2(sin cos )2自我检测1C2.C3.B4.D课堂活动区例1解题导引化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键解y74sin xcos x4cos
9、2x4cos4x72sin 2x4cos2x(1cos2x)72sin 2x4cos2xsin2x72sin 2xsin22x(1sin 2x)26，由于函数z(u1)26在1,1中的最大值为zmax(11)2610，最小值为zmin(11)266，故当sin 2x1时，y取得最大值10，当sin 2x1时，y取得最小值6.变式迁移1解(1)f(x)2cos 2x，f2cos2cos .(2)g(x)cos 2xsin 2xsin.x，2x，当x时，g(x)max，当x0时，g(x)min1.例2解题导引(1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应
10、转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数解由sin(2)sin(2)sin(2)cos(2)sin(4)cos 4，cos 4，又(，)，故，2sin2tan 1cos 2cos 2cos.变式迁移2解(1)是第一象限角，cos ，sin .(2)cos(2)cos 2cossin 2sin(cos 2sin 2)，0，故可知，sin()，从而cos 2sin(2)2sin()cos()2().sin 2cos(2)12cos2()12()2.cos(2)(cos 2sin 2)().例3解题导引本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式
11、与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系第(3)小题则利用基本不等式求解即可(1)证明由sin(2)3sin ，得sin()3sin()，即sin()cos cos()sin 3sin()cos 3cos()sin ，sin()cos 2cos()sin ，tan()2tan .(2)解由(1)得2tan ，即2x，y，即f(x).(3)解角是一个三角形的最小内角，0，0x，设g(x)2x，则g(x)2x2(当且仅当x时取“”)故函数f(x)的值域为(0，变式迁移3证明因为左边右边所以原等式成立课后练习区1
