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1、精选优质文档-倾情为你奉上二、 数据包络分析(DEA)方法数据包络分析(data envelopment analysis, DEA)是由著名运筹学家Charnes, Cooper和Rhodes于1978年提出的，它以相对效率概念为基础，以凸分析和线性规划为工具，计算比较具有相同类型的决策单元(Decision making unit，DMU)之间的相对效率，依此对评价对象做出评价1 Charnes A, Cooper W W, Rhodes E. Measuring the efficiency of decision making units J. European Journal of
2、Operational Research, 1978, 2: 429-444.1。DEA方法一出现，就以其独特的优势而受到众多学者的青睐，现已被应用于各个领域的绩效评价中2 Cook W D, Seiford L M. Data envelopment analysis (DEA)-Thirty years on J. European Journal of Operation Research, 2009, 192(1): 1-17.,3 Liu J S, Lu L Y Y, Lu W M, Lin B J Y. Data envelopment analysis 19782010: A c
3、itation-based literature survey J. Omega, 2012, doi:10.1016/j.omega.2010.12.006. (In press)。在介绍DEA方法的原理之前，先介绍几个基本概念:1. 决策单元一个经济系统或一个生产过程都可以看成是一个单位(或一个部门)在一定可能范围内，通过投入一定数量的生产要素并产出一定数量的“产品”的活动。虽然这种活动的具体内容各不相同，但其目的都是尽可能地使这一活动取得最大的“效益”。由于从“投入”到“产出”需要经过一系列决策才能实现，或者说，由于“产出”是决策的结果，所以这样的单位(或部门)被称为决策单元(DMU)。
4、因此，可以认为，每个DMU(第i个DMU常记作DMUi)都表现出一定的经济意义，它的基本特点是具有一定的投入和产出，并且将投入转化成产出的过程中，努力实现自身的决策目标。在许多情况下，我们对多个同类型的DMU更感兴趣。所谓同类型的DMU，是指具有以下三个特征的DMU集合：具有相同的目标和任务；具有相同的外部环境；具有相同的投入和产出指标。 2. 生产可能集设某个DMU在一项经济(生产)活动中有m项投入，写成向量形式为；产出有s项，写成向量形式为。于是我们可以用来表示这个DMU的整个生产活动。定义1. 称集合为所有可能的生产活动构成的生产可能集。在使用DEA方法时，一般假设生产可能集T满足下面四
5、条公理:公理1(平凡公理): 。 公理2(凸性公理): 集合T为凸集。 如果 , 且存在 满足 则 。公理3(无效性公理)：若,则。 ， 公理4 (锥性公理): 集合T为锥。如果那么 对任意的。若生产可能集是所有满足公理1 , 2 , 3和4的最小者，则T有如下的唯一表示形式。3. 技术有效与规模收益(1) 技术有效：对于任意的，若不存在，且，则称为技术有效的生产活动。(2) 规模收益：将产出和投入的同期相对变化比值称为规模效益。若，说明规模收益递增，这时可以考虑增大投入；若，说明规模收益递减，这时可以考虑减小投入；若，说明规模收益不变，且称为规模有效。（一） DEA方法原理与CCR模型DEA
6、方法的基本原理是：设有n个决策单元，它们的投入，产出向量分别为：，。由于在生产过程中各种投入和产出的地位与作用各不相同，因此，要对DMU进行评价，必须对它的投入和产出进行“综合”，即把它们看作只有一个投入总体和一个产出总体的生产过程，这样就需要赋予每个投入和产出恰当的权重。假设投入、产出的权向量分别为和，从而就可以获得如下的定义。定义2. 称为第个决策单元的效率评价指数。根据定义可知，我们总可以选取适当的权向量使得。如果想了解某个决策单元，假设为在这n个决策单元中相对是不是“最优”的，可以考察当和尽可能地变化时，的最大值究竟为多少? 为了测得的值，Charnes等人于1978年提出了如下的CC
7、R(三位作者名字首字母缩写)模型： (1)利用Charnes和Cooper (1962)4 Charnes A, Cooper W W. Programming with linear fractional functional J. Naval Research Logistics Quarterly, 1962, 9: 181-185.提出的分式规划的Charnes-Cooper变换: , ,变换后我们可以得到如下的线性规划模型： (2)根据线性规划的相关基本理论，可知模型(2)的对偶问题表达形式： (3)上述的模型是基于所有决策单元中“最优”的决策单元作为参照对象，从而求得的相对效率都是
8、小于等于1的。模型(2)或者(3)将被求解n次，每次即得一个决策单元的相对效率。模型(3)的经济含义是：为了评价的绩效，可以用一组假想的组合决策单元与其进行比较。模型(3)的第一和第二个约束条件的右端项分别是这个组合决策单元的投入和产出。从而，模型(3)意味着，如果所求出的效率最优值小于1，则表明可以找到这样一个假想的决策单元，它可以用少于被评价决策单元的投入来获取不少于该单元的产出，即表明被评价的决策单元为非DEA有效。而当效率值为1时，决策单元为DEA有效。有关DEA有效根据松弛变量是否都为零还可以进一步分为弱DEA有效与DEA有效两类。即通过考察如下模型中的与的值来判别。 (4)其中为非
9、阿基米德无穷小量。根据上述模型给出被评价决策单元有效性的定义：定义3. 若模型(4)的最优解满足，则称为弱DEA有效。定义4. 若模型(4)的最优解满足，且有，成立，则称为DEA有效。定义5. 若模型(4)的最优解满足，则称为非DEA有效。对于非DEA有效的决策单元，有三种方式可以将决策单元改进为有效决策单元：保持产出不变，减少投入；保持投入不变增大产出；减小投入的同时也增大产出。CCR模型容许DMU在减小投入的同时也增加产出。对于CCR模型，可以通过如下投影的方式将其投向效率前沿面，从而投影所得的点投入产出组合即为DEA有效。上述投影所得值与原始投入产出值之间的差异即为被评价决策单元欲达到有
10、效应改善的数值，设投入的变化量为，产出的变化量为：（二） BCC模型CCR 模型是假设生产过程属于属于固定规模收益，即当投入量以等比例增加时，产出量应以等比增加。然而实际的生产过程亦可能属于规模报酬递增或者规模报酬递减的状态。为了分析决策单元的规模报酬变化情况，Banker, Charnes与Cooper以生产可能集的四个公理以及Shepard距离函数为基础在1984年提出了一个可变规模收益的模型，后来被称为BCC的模型5 Banker R D, Charnes A, Cooper WW. Some models for estimating technical and scale effic
11、iencies in data envelopment analysis J. Management Science, 1984, 30: 1078-1092.。线性形式的BCC模型可表示为： (5)含松弛变量形式的BCC对偶模型 (6)其中为非阿基米德无穷小量。根据BCC模型中的的取值大小，Banker和Thrall(1992) 6 Banker R D, Thrall R M. Estimation of returns to scale using data envelopment analysis J. European Journal of Operational Research,
12、 1992, 62: 74-84.提出如下判别方法来判断模型(5)的规模收益。定理16. 假设含有投入产出组合的是有效的，那么下面的条件可以判别模型(1)之下的规模收益：(i) 对于投入产出组合规模收益不变当且仅当在某个最优解情况下有；(ii) 对于投入产出组合规模收益递增当且仅当在所有最优解情况下都有；(iii) 对于投入产出组合规模收益递减当且仅当在所有最优解情况下都有。其中代表模型(5)中的最优解。该定理的证明参见文献6。CCR模型或者BCC模型计算出来的效率可能存在多个效率值为1的情形，为了进一步区分这些有效决策单元，常用的方法有超效率模型，交叉效率模型以及双前沿数据包络分析模型。下面
13、依次做个简单介绍。（三） 超效率模型CCR 模型在计算效率值时，经常会出现多个有效的决策单元(效率值为1)的情形，从而使得有效决策单元之间无法进行比较分析。Andersen 和 Petersen (1993) 7 Andersen P, Petersen N C. A procedure for ranking efficient units in data envelopment analysis J. Management Science, 1993, 39: 1261-1264.为了实现决策单元的完全排序，将被评价的决策单元从效率边界中剔除，以剩余的决策单元为基础，形成新的效率边界，计算
14、剔除的决策单元到新的效率边界的距离。由于剔除的决策单元不被效率边界所包围，对于有效的决策单元而言，其计算出来的新效率值就会大于1，而对于无效的决策单元而言，其所得的效率值不变，仍小于1，从而使得全体决策单元可以实现完全排序。由于有效的决策单元效率大于1，从而就有了超效率(Super-efficiency) 的概念。基于CCR模型的超效率DEA模型为： (7)Banker和Chang(2006)8 Banker R D, Chang H. The super-efficiency procedure for outlier identification, not for ranking efficient units J. European Journal of Operational Research, 2006, 175: 1311-1320.证实了超效率极易受离群值的影响，因此该方法可以用来检测数据集中是否存在离群值。（四）交叉效率模型为了解决DEA有效决策单元的排序和比较问题，Sexton等人(1986)9 Sexton T R, Silkman R H, Hogan A
