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1、课 题第三章3.4线性方程组的解 教学内容线性方程组有解的充要条件教学目标会求线性方程组的解教学重点线性方程组的解的计算方法教学难点含参数线性方程组的解的计算方法双语教学内容、安排线性方程组：linear equations 教学手段、措施教学过程及教学设计备注第四节 线性方程组的解线性方程组称为 n 元齐次线性方程组.记A称为方程组的系数矩阵于是，这个齐次方程组可以记为定理2：n元齐次线性方程组Ax = 0有非零解的充分必要条件是系数矩阵A的秩R(A) n .证 必要性 设方程组 Ax = 0 有非零解. 用反证法来证明R(A) n . 假设 R(A) = n ，那么在 A 中应有一个 n
2、阶子式 |D|0.根据 Cramer 法则，D 所对应的 n 个方程构成的齐次线性方程组只有零解，从而原方程组 Ax = 0也只有零解，矛盾. 故 R(A) 0 个自由未知量, 因此有非零解. 故 Ax = 0也有非零解.关于齐次线性方程组的结论 方程组仅有零解的充分必要条件是 方程组有非零解的充分必要条件是 当齐次线性方程组中未知量的个数大于方程个数时，必有这时齐次线性方程组一定有非零解.例 1 三元齐次线性方程组是否有非零解？解 由 可知R(A)=2. 因为R(A)=23所以此齐次线性方程组有非零解. 有非零解.解 用初等行变换化系数矩阵 可知， R(A) = 2 3. 性方程组有非零解.
3、例 求解下列齐次线性方程组(1) (2)解：(1)可得,而,故方程组只有零解: (2)可得,而,故方程组有非零解,通解中含有个任意常数 .原方程组的同解方程组为取为自由未知量(一般取行最简形矩阵非零行的第一个非零元对应的未知量为非自由的), 令,则方程组的全部解(通解)为 (为任意常数)或写成(向量)形式 . (为任意常数)齐次方程组求解方法: 用矩阵初等行变换将系数矩阵化成行阶梯形矩阵,根据系数矩阵的秩可判断原方程组是否有非零解.若有非零解,继续将行阶梯形化为行最简形矩阵,则可求出方程组的全部解(通解).n 元非齐次线性方程组记 A称为非齐次线性方程组的系数矩阵, B 称为增广矩阵，非齐次方
4、程组可以记为Ax = b其中定理3 ： n 元非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是 R(A) = R(B) , 其中 B = ( A b ) 为非齐次线性方程组Ax = b 的增广矩阵. 证明 必要性 设非齐次线性方程组 Ax = b 有解，要证R(A) = R(B) .用反证法, 假设R(A) R(B) ， 则 B可化成 行阶梯形矩阵于是得到与原方程组 Ax = b 同解的方程组：。因为它含有矛盾方程 0 = 1，所以这个方程组无解，这与原方程组有解矛盾. 故 R(A) = R(B) . 充分性 设 R(A) = R(B) = r .用初等行变换化增广矩阵 B 为行阶梯形矩阵
5、 B1 ，则 B1中含 r 个非零行 .不妨设B1 为记B1 对应的方程组为这个方程组有解. 它与原方程组 Ax = b 同解，所以非齐次线性方程组 Ax = b 有解.由上述证明还可以知道，n 元非齐次线性方程组 Ax = b 有唯一解的充分必要条件是R(A) = R(B) = n .关于非齐次线性方程组的结论。方程组无解充分必要条件是) 方程组有唯一解的充分必要条件是) 方程组有无穷多组解的充分必要条件是),且在任一解中含有个任意常数 .例 3 判断下列非齐次线性方程组是否有解 解 用初等行变换化其增广矩阵 由此可知，R(A) = 3, R(B) = 4， 即 R(A) R(B) ，因此方
6、程组无解.例 4 a , b 取何值时，非齐次线性方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？ 解 用初等行变换把增广矩阵化为行阶梯形矩阵， 由此可知：（1）当 a 1 时，R(A) = R(B) = 4 , 方程组有唯一解；（2）当 a = 1 ，b 0 时，R(A) = 2 , 而R (B) = 3, 方程组无解；（3）当 a = 1 ，b = 0 时，R(A) = R(B) = 2, 方程组有无穷多个解例 求解下列非齐次线性方程组(1) (2)(3)解：（1）可得,而,故方程组有解,且解唯一: , , .(2)可得 ,故方程组无解.(3) 可得,而,故方程组有解,且有无穷多解,
7、通解中含有个任意常数.与原方程组同解的方程组为 取为自由未知量(一般取行最简形矩阵非零行的第一个非零元对应的未知量为非自由的),令,则方程组的全部解(通解)为 (为任意常数)或写成(向量)形式 . (为任意常数)例 取何值时,线性方程组 (1)有唯一解? (2)无解? (3)有无穷多解? 有解时求出全部解. 解 方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为, .(1) 当,即当时,方程组有唯一解.,所以 当且时,方程组有唯一解.由于,根据克拉默法则,得到唯一解 .（2）当时,可得,故方程组无解.(3)当时, 可得,故方程组有无穷多解,通解中含有个任意常数.令 ,则 方 程 组 通 解 为或.(为任意常数) （对教学内容及欲达目的、讲授方法加以说明）。
