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1、计算积分I三丁e-x2dx,00rd0dr由此我们可以得到积分公式:+,x2nex2dx(2n1)!2nx2nex2dxx2n1dex2x2n2ex2dx量子力学的数学准备(暑期读物)写在前面的话06光信、电科的同学们:暑假开学后我将和你们一起学习量子力学这门课程。由于教学计划调整,量子力学的学时由周五学时缩减为周四学时,加之学期缩短(由18-19周缩短为16-17周),实际教学时间缩减近三分之一。无论是从学校的要求还是从将来同学们学习后续课程或考研的要求来看,都不允许减少教学内容。为此我编写了一个暑期读物,以期同学们利用暑假在不涉及量子力学的基本原理和有关概念的前提下,能够对量子力学课程中用
2、到的一些数学知识做一个复习和预习,以便开学后在课堂上可适度减少对数学的讲解。我知道大家暑假都很忙,要回家与亲人团聚尽享天伦之乐,要孝敬父母帮着做一些事情,要游览大好河山感受大自然的美,要准备考托考吉考这考那,要准备科技创新、电子大赛,等等等等。但我还是希望大家能拨冗看一下这个读物,此处所说的看决不是指“Look”,而是指“Read,DeduceandConsider”,即阅读、推导、思考。为此,带上数学物理方法和线性代数的课本回家是有必要的。有人说19世纪是机器的世纪,20世纪是信息的世纪,而21世纪将是量子的世纪。让我们为迎接量子世纪的到来做好准备吧!刘骥谨此I.一个积分的计算2三Te一x2
3、dxTe一y2dye(x2+y2n1(2n1)(2n3)(2n1)!rll-2n122n22n0问题:对于积分J三JeX2dX可以仿照上述方法计算吗?为什么?如果不能,该如何计算其近似值?1#由于九是常数,相对x2(T+)可忽略,方程(1)在xT土的渐近式为#(2)y-X2y0观察可发现e-x2/2是方程(2)的近似解。y”x2ye-x2/2x_0#e-x2/2当然不是方程(1)的解y(x),但当x土时y(x)应表现出e-x2/2的渐近行为,于是我们可以合理地假设y(x)中应包含因子e-x2/2。令y(x)h(x)e-x2/2一俗称“带中间”代入,得h(x)-2xh(x)+(九一1)h(x)=
4、0方程(3)称为Hermit方程,是可以用级数法求解的。级数法求解Hermit方程以h(x)xn代入方程(3),只出现xn和xn-2两种幂次项令h(x)乙afk,代入(3),xk0k(k-1)axk2k艺k(k-1)axk2kk0艺(k+2)(k+1)a+(久-1-2k)axk=0k,2kk0由方程两边x的同幕次系数相等,我们得到展开系数的递推公式:为(k+2)(k+1)a,2xk为(k+2)(k+1)a,?xkk=jk0.、V再用k(k)替换kv求和哑指标k换为k(kk-2)正像积分变量替换不改变定积分的值一样,求和哑指标的替换不改变求和的值。#aak+2(k+1)(k+2)kk0,1,2,
5、(4)由递推公式(4)可以看出,a0确定后,a2a4、等所有下标为偶数的展开系数随之确定,ai确定后,a3、a5、等所有下标为奇数的展开系数随之确定。=Cb,k为偶数Cb,k为奇数2kC1C2为任意常数,则不管k为偶数还是奇数都有b(bk+2(k+1)(k+2)k(5)于是1九h(x)=C1(b0+2Tb0x2+(j)(5Jb0X4+(i(5J(9)b0x6+)4!06!05!7!ii.2时,无穷级数hi(x)或h2(x)有限,即使趋向无穷大也不能快于ex2/2o(3九-3+C2(b1x+刁厂bx3+(3)b1X5+(3)(7)(11)bx7+)(6)1711#由式,计)或SB的相邻项系数比(
6、后项比前项)晋=J:I二)亠JI,根据无穷级数收k敛判别法则,条件i是满足的,即h(x)或h(x)是收敛的。至于是否满足条件ii,难以直接看出。为此我们12x4x6xk考察函数ex2的泰勒展开式ex2=1+x2+,其相邻项系数比2!3!(k/2)!一个无穷级数在xT时的渐近行为取决于其高次项,h1(x)或(k2)!1i*2(I2)+1!(I2)+1Ih2(x)与ex2有相同的(IT)相邻项系数比,因而hjx)宀加b0ex2,h2(x)b严x2。显然这不满足上述的条件ii,即九鼻2n+1时,方程(1)没有有限解。X2n+1时,方程(1)有有限解2n1时,式(5)变为bk22k1-(2n1),(k
7、1)(k2)k由b0(或b1)可推出b2,b4,bn(或b3,%,bn),而bn2bn4-0,件(兀)或h2(x)截断成为多项式。xT土时,多项式趋向无穷的速度不快于eX2/2,满足条件ii,因而我们可以得到方程(1)的有限解。具体地说,2n1,n为偶数时,h(x)截断成为只含有偶数次幕的n次多项式,而h(x)仍为无穷12级数,此时可选任意常数C20,得到方程(1)的有限解y(x)Ch(x)e-x2/2。,2n1,n为奇数时,h2(x)截断成为只含有奇数次幕的n次多项式,而h/x)仍为无穷级数,此时可选任意常数C10,得到方程(1)的有限解y(x)C2h2(x)e-x2/2。Hermit(厄密
8、)多项式九2n1时,h(x)或h(x)截断成为n次多项式,其中的常数b0或习惯上这样选取:使多项式1201最高次项的系数为2n。这样的多项式称为Hermit多项式,记为%(x),其通项公式:n号n!H(x)乙(-1)k-nk!(n-2k)!k0(2x)n-2k(7)彳为2的整数部分,扌=22#H3(x)8x3-12x由此通项公式可具体写出任意阶的厄密多项式,如H0(x)1,H1(x)2x,H2(x)4x2-2H4(x)16x4-48x212,归纳起来,方程y(,-x2)y=0在,2n1时存在有限解,对应的解为_-1y(x)CH(x)ex2/2n0T2Tcn为常数由其他条件确定。nnn,,。 H
9、ermit多项式的微商表示方法及递推公式Hermit多项式还可写为Hn(x)(-1)凸dne-x2dxn由通项公式(7)可得厄密多项式的一个递推公式|H;(x)2nHn-1由微商表示(8)可得第二个递推公式|Hn(x)2xHn-Hn1(x)(8)(9)由(9),(10)可得第三个递推公式日“+i(x)+2卅化_(x)2兀化(x)(11) 常数Cn由归一化条件确定+n,按照量子力学,yn(x)应满足归一化条件,即Jy;(x)dxC2Je,x2H2(x)dx1。其中的积分值计,算出来后,就能得到常数Cn。将微商表示(8)代入上述积分,得佟dx(,1)n丁H(x)d(dn_1e_x2dxn一1,)d
10、n,1e-x2dxn一1dx2n(-1)n-1THn,1(x)dn,1e-x2dxdxn一1+2nn!JHo(x)e,x2dx=2nn!兀CT(12)于是12nn!、阮丿1/2yn(X),12nng元丿1/2e一x2/2H(x)nn# 两个常用的关于yn(x)递推关系由(11)得,xHn(X)nHn-1(X)+2Hn+1(x),那么XYn(x)=,12nn!兀丿1/2e,x2/2xH(x)nn22nj(n-1)!1/2兀丿e,x2/2H(x)+n-1n+12n,仿照(12)式中的做法#(x)yn(x)dx2nn!Th(x)e-x2dxmm-nIII6函数1定义(x)0,x丰0I,,x0+,,且
11、(x)dxl。,2x性质i.(x)(x),ii.()al(x),(a丰0)aiii.,x0)dxf(x0)36函数是某些通常函数序列的极限6函数显然不是通常意义的函数。人们现在说,它是广义函数。具体地说,它是某种通常函数系列的极限,而这极限是在积分的意义上说的。(梁昆淼数学物理方法第三版,plO8)除了梁昆淼书中给出的三个例子,即#验证见梁书i.(x)lim1rect(y),lt0ll巨之外,量子力学中还经常用到下面几种:ii(x)lim丄sinKKt,兀x#iv(k)了ikxdx2,v.(x)limsin2(xg)gT,兀x先验证iV,-1丁ikxdxli-1eikxdxlim2-,2兀Rt
12、,_rRt,#再验证V,x丰0时,两次使用洛比达limsin2(xg)ogt,兀x2g#x0时,limsin2(xg)limlimsin2(xg)lim兰兀x2ggt,xtO兀x2ggT,gT,xT0gT,#丁limsin2(xg)dxlim丁沁xg)dxlim丄丁沁dxg,,兀”2gg,兀,Xxg,兀x2g平sin2x7+,1cos2x,1+,-,1平sin2x,注意至Udxdxcos2xddx兀x22x22xx,2x2,梁书p82习题3(7)利用梁书p81例8的结果#g,兀x2g.了iimsin2(xg)dxi符合函数的定义。IV.Kroneck符号5与Levi-Civita符号.mnijk1Kroneck符号5mn10,m,neZ#引入Kroneck符号后,可对许多公式进行方便简捷地表达。例如,三维空间