《最值系列之辅助圆》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最值系列之辅助圆（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、最值系列之辅助圆最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值在将军饮马问题中，折点P就是那个必须存在的动点并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题辅助圆在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A为圆外一点，在圆上找一点P使得PA最小当然，也存在耿直的题目直接告诉动点轨迹是个圆的，比如：【
2、2017四川德阳】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，APB=90，l不经过点C，则AB的最小值为_【分析】连接OP，根据APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，若AB最小，则OP最小即可连接OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值一、从圆的定义构造圆圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧【2014成都中考】如图，在边长为2的菱形ABCD中，A=60，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将
3、AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接AC，则AC长度的最小值是_【分析】考虑AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，可得MA=MA=1，所以A轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧连接CM，与圆的交点即为所求的A，此时AC的值最小构造直角MHC，勾股定理求CM，再减去AM即可【2016淮安中考】如图，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_【分析】考虑到将FCE沿EF翻折得到FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧过F点作FHAB，与圆的交点即为所求P点，此
4、时点P到AB的距离最小由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH【2019扬州中考】如图，已知等边ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）直线l是经过点P的一条直线，把ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B当PB=6时，在直线l变化过程中，求ACB面积的最大值【分析】考虑l是经过点P的直线，且ABC沿直线l折叠，所以B轨迹是以点P为圆心，PB为半径的圆弧考虑ACB面积最大，因为AC是定值，只需B到AC距离最大即可过P作作PHAC交AC于H点，与圆的交点即为所求B点，先求HB，再求面积【2018相城区一模】如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上
5、的两个动点，AE=2，AEQ沿EQ翻折形成FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于BC对称点D，连接PD，PF+PD化为PF+PD连接ED，与圆的交点为所求F点，与BC交点为所求P点，勾股定理先求ED,再减去EF即可二、定边对直角知识回顾：直径所对的圆周角是直角构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧图形释义：若AB是一条定线段，且APB=90，则P点轨迹是以AB为直径的圆【例题】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则PD的
6、最小值为_【分析】由于E、F是动点，故P点也是动点，因而存在PD最小值这样的问题，那P点轨迹如何确定？考虑BE=CF，易证AEBF，即在运动过程中，APB=90，故P点轨迹是以AB为直径的圆连接OC，与圆的交点即为P点，再通过勾股定理即可求出PC长度思路概述：分析动点形成原理，通常“非直即圆”（不是直线就是圆），接下来可以寻找与动点相关有无定直线与定角【2013武汉中考】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H，若正方形边长为2，则线段DH长度的最小值是_【分析】根据条件可知：DAG=DCG=ABE，易证AGBE，即AHB=9
7、0，所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧当D、H、O共线时，DH取到最小值，勾股定理可求【2016安徽中考】如图，RtABC中，ABBC，AB=6，BC=4，P是ABC内部的一个动点，且满足PAB=PBC，则线段CP长的最小值是_【分析】PBC+PBA=90，PBC=PAB，PAB+PBA=90，APB=90，P点轨迹是以AB为直径的圆弧当O、P、C共线时，CP取到最小值，勾股定理先求OC，再减去OP即可【寻找定边】如图， AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=5，AC=4D是弧BC上的一个动点，连接AD，过点C作CEAD于E，连接BE在点D移动的过程中，BE的最小值为 【分析】E是动点，E点
8、由点C向AD作垂线得来，AEC=90，且AC是一条定线段，所以E点轨迹是以AC为直径的圆弧当B、E、M共线时，BE取到最小值连接BC，勾股定理求BM，再减去EM即可【寻找定边与直角】如图，在RtABC中，ACB=90，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_【分析】连接CE，由于CD为直径，故CED=90，考虑到CD是动线段，故可以将此题看成定线段CB对直角CEB取CB中点M，所以E点轨迹是以M为圆心、CB为直径的圆弧连接AM，与圆弧交点即为所求E点，此时AE值最小，（2019苏州园区一模）如图，正方形ABCD的边长为4，动点E
9、、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为 【分析】首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE=CF，BGEF，但BGE所对的BE边是不确定的重点放在AE=CF，可得EF必过正方形中心O点，连接BD，与EF交点即为O点 BGO为直角且BO边为定直线，故G点轨迹是以BO为直径的圆记BO中点为M点，当A、G、M共线时，AG取到最小值，利用RtAOM勾股定理先求AM，再减去GM即可【辅助圆+将军饮马】如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AFBE
10、于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为_【分析】AFB=90且AB是定线段，故F点轨迹是以AB中点O为圆心、AB为直径的圆考虑PC+PF是折线段，作点C关于AD的对称点C，化PC+PF为PC+PF，当C、P、F、O共线时，取到最小值【辅助圆+相切】如图，在RtABC中，ACB=90，B=30，AB=4，D是BC上一动点，CEAD于E，EFAB交BC于点F，则CF的最大值是_【分析】AEC=90且AC为定值，故E点轨迹是以AC为直径的圆弧考虑EFAB，且E点在圆上，故当EF与圆相切的时候，CF取到最大值连接OF，易证OCFOEF，COF=30，故CF可求三、定边对定角在“定边对直
11、角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相定边必不可少，而直角则可一般为定角例如，AB为定值，P为定角，则A点轨迹是一个圆当然，P度数也是特殊角，比如30、45、60、120，下分别作对应的轨迹圆若P=30，以AB为边，同侧构造等边三角形AOB，O即为圆心若P=45，以AB为斜边，同侧构造等腰直角三角形AOB，O即为圆心若P=60，以AB为底，同侧构造顶角为120的等腰三角形AOB，O即为圆心若P=120，以AB为底，异侧为边构造顶角为120的等腰三角形AOB，O即为圆心【例题】如图，等边ABC边长为2，E、
12、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为_【分析】由BE=CF可推得ABEBCF，所以APF=60，但APF所对的边AF是变化的所以考虑APB=120，其对边AB是定值所以如图所示，P点轨迹是以点O为圆心的圆弧（构造OA=OB且AOB=120）当O、P、C共线时，可得CP的最小值，利用RtOBC勾股定理求得OC，再减去OP即可【2017山东威海】如图，ABC为等边三角形，AB=2，若P为ABC内一动点，且满足PAB=ACP，则线段PB长度的最小值为_【分析】由PAB=ACP，可得APC=120，后同上例题【2019南京中考】在ABC中，AB=4，
13、C=60，AB，则BC的长的取值范围是_【分析】先作图，如下条件不多，但已经很明显，AB是定值，C=60，即定边对定角故点C的轨迹是以点O为圆心的圆弧（作AO=BO且AOB=120）题意要求AB，即BCAC，故点C的轨迹如下图当BC为直径时，BC取到最大值，考虑A为ABC中最大角，故BC为最长边，BCAB=4无最小值 【2019武汉中考】如图，AB是圆O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，ACB的角平分线交圆O于点D，BAC的平分线交CD于点E，当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是_【分析】分别考虑C、E两点的轨迹，C点轨迹上是弧MCN，其对应圆心角为MON，半径为OM（或ON）再考虑E点轨迹，考虑到CE、AE都是角平分线，所以连接BE，BE平分ABC，可得：AEB=135考虑到AEB是定角，其对边AB是定线段，根据定边对定角，所以E点轨迹是个圆，考虑到ADB=90，所以D点即为圆心，DA为半径 E点轨迹所对的圆心角为MDN，是MON的一半，所以C、E两点轨迹圆半径之比为1：根号2，圆心角之比为2:1，所以弧长比值为根号21
