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1、+二一九高考数学学习资料+第3讲等比数列基础巩固1.已知等差数列an的公差为-2,且a2,a4,a5成等比数列,则a2等于()A.-4B.-6C.8D.-8答案:C解析:因为a2,a4,a5成等比数列,所以=a2a5.因数列an是等差数列,且其公差为-2,故有(a2+2d)2=a2(a2+3d),整理得a2=-4d,即a2=8.2.若等比数列an的公比为q,则“q1”是“对于任意正整数n,都有an+1an”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:D解析:当a1a2,则an等于()A.(-2)n-1B.-(-2)n-1C.(-2)nD.-(-2)n答案
2、:A解析:|a1|=1,a1=1或a1=-1.a5=-8a2=a2q3,q3=-8.q=-2.又a5a2,即a2q3a2,a20.而a2=a1q=a1(-2)0,a1=1.故an=a1(-2)n-1=(-2)n-1.7.在等比数列an中,a1=2,前n项和为Sn,若数列an+1也是等比数列,则Sn等于()A.2n+1-2B.3nC.2nD.3n-1答案:C解析:由已知得数列an的前三项分别为2,2q,2q2.又(2q+1)2=3(2q2+1),整理得2q2-4q+2=0,解得q=1,Sn=2n.8.设an是公比不等于-1的任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z,则下
3、列等式中恒成立的是()A.X+Z=2YB.Y(Y-X)=Z(Z-X)C.Y2=XZD.Y(Y-X)=X(Z-X)答案:D解析:在等比数列中,当公比q-1时,有Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,故有X(Z-Y)=(Y-X)2,两边展开有XZ-XY=Y2-2XY+X2,即XZ=Y2-XY+X2,移项有Y2-XY=-X2+XZ,提取公因式,得Y(Y-X)=X(Z-X).故选D.9.若等比数列an满足a2a4=,则a1a5=.答案:解析:由等比数列的性质得a2a4=a1a5=,于是a1a5=.10.在等比数列an中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式an=.答案:4n
4、-1解析:由题意知a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=21,又q=4,式为a1+4a1+16a1=21a1=21,即a1=1.故an=a1qn-1=14n-1=4n-1.11.已知等差数列an满足a2=2,a5=8.(1)求an的通项公式;(2)各项均为正数的等比数列bn中,b1=1,b2+b3=a4,求bn的前n项和Tn.解:(1)设等差数列an的公差为d,则由已知得a1=0,d=2.来源:an=a1+(n-1)d=2n-2.(2)设等比数列bn的公比为q,来源:数理化网则由已知得q+q2=a4,a4=6,q=2或q=-3.来源:等比数列bn的各项均为正数,q=2.bn的前n项和Tn=
5、2n-1.12.已知等比数列an的公比q=-.(1)若a3=,求数列an的前n项和;(2)证明:对任意kN*,ak,ak+2,ak+1成等差数列.(1)解:由a3=a1q2=及q=-,得a1=1,因此数列an的前n项和Sn=.(2)证明:对任意kN*,2ak+2-(ak+ak+1)=2a1qk+1-(a1qk-1+a1qk)=a1qk-1(2q2-q-1),因为由q=-可得2q2-q-1=0,所以2ak+2-(ak+ak+1)=0.所以,对任意kN*,ak,ak+2,ak+1成等差数列.拓展延伸13.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=(an-1).(1)求a1,a2;(2)证明数列an是等比数列;(3)求an及Sn.(1)解:a1=S1=(a1-1),a1=-.又a1+a2=S2=(a2-1),a2=.(2)证明:Sn=(an-1),Sn+1=(an+1-1).两式相减,得an+1=an+1-an,即an+1=-an,故数列an是首项为-,公比为-的等比数列.来源:(3)解:由(2)得an=-,Sn=.高考数学复习精品高考数学复习精品
