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1、线性代数考试复习提纲、知识点、例题、行列式的计算（重点考四阶行列式）1、利用行列式的性质化成三角行列式行列式的性质可概括为五条性质、四条推论，即七种变形手段（转置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三个为0【两行（列）相同、成比例、一行（列）全为0】2、行列式按行（列）展开定理降阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之i 1,2,., n和，即DaiiAiiai2A2.ainAin例1、计算行列式243221104 0352351、解矩阵方程矩阵方程的标准形式：AX B XA BAXB C若系数矩阵可逆，则XA1BXBA1XA1CB1切记不能写成XA1B1C或XAB求
2、逆矩阵的方法：1、待定系数法ABE（或BAE）2、伴随矩阵法A 11-AA A其中A叫做A的伴随矩阵，它是|A的每一行的元素的代数余子式排在相同序数的列上的矩阵。3、初等变换法AE初等行变换EA1例2、解矩阵方程31X561416527891001011例3、解矩阵方程XAXB,其中A111B2010153三、解齐次或非齐次线性方程组设Aajmn,n元齐次线性方程组AX0有非零解r(A)nn元齐次线性方程组AX0只有零解r(A)n。当mn时，n元齐次线性方程组AX0只有零解|A0。当mn时，n元齐次线性方程组AX0有非零解|A0。当mn时，齐次线性方程组一定有非零解。定义：设齐次线性方程组AX
3、0的解1,，t满足：(1) 1,，t线性无关，(2) AX0的每一个解都可以由1,，t线性表示。则1,，t叫做AX0的基础解系。定理1、设Amn,齐次线性方程组AX0,若r(A)rn,则该方程组的基础解系一定存在，且每一个基础解系中所含解向量的个数都等于nr。齐次线性方程组的通解X匕1匕h.,R设Aq,n元非齐次线性方程组AXB有解r(A)r(A)omn唯一解r(A)r(A)no无数解r(A)r(A)n。无解r(A)r(A)。非齐次线性方程组的通解xk1k1,，knrR例4、求齐次线性方程组Xi2x12x1X2x22x22x3x4x3x4x32x400的通解0例5、求非齐次线性方程组x1x23
4、x1x2x15x23x3x413x34x44的通解。9x38x40四、含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的讨论例6、当为何值时，齐次线性方程组X2x00有非零解，并求解。0例7、已知线性方程组2x1x2x3x12x2x3x1x22x3为何值时，它有唯一解,无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。五、向量组的线性相关性2,，s线性相关1,2，s(s2)中至少存在一个向量能由其余向量线性表示。存在不全为0的数k1,k2,ks使得k11k22.kss0。k1k20有非零解行k1,k2,k20有非零解ks零解1,2,.s线性无关1,2,.,s(s特殊的,性表不。若k11k222,.k1k20只有零解n个
5、n维向量n个n维向量K/k21,2,.,s0有非2）中任意一个向量都不能由其余向量线kss2,.,n线性相关2,.,n线性无关例8、已知向量组1t,2,1,22,t,0讨论t使该向量组（1）线性相关0,则k1k2k1,k2,.,ks1,2,.1,2,.,nks0。0只有零解31,1,1,（2）线性无关0。0。六、求向量组的秩，极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示设向量组A:1,2,.,s,若从A中选出r个向量构成向量组ir满足:(1)A线性无关(2)A中的每一个向量都能由4线性表示,条件（2）换一句话说A的任意r1个向量（若有的话）都线性相关,或者说从A中向Ao任意添加一个向量（若有的
6、话），所得的向量组都线性相关。则A0叫做A的极大线性无关向量组，简称极大无关组。向量组的极大无关组所含向量的个数叫做向量组的秩，记作r1,2,.,sr求向量组的秩的方法：（ 1） 扩充法1（ 2） 子式法21,2,.,mnm.mmn最高阶非0子式的阶数就是矩阵的秩，也就是这个向量组的秩，并且这个子式的行（列）对应的原向量组的向量就是这个向量组的一个极大无关组。（ 3） 初等变换法同法二构成矩阵，对矩阵进行初等变换。例9、设向量组求（1）向量组的秩；（2）向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用这个极大线性无关组线性表示。七、相似矩阵的性质与矩阵可相似对角化问题相似矩阵的性质:1、 、相似矩阵
7、有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，行列式，迹。特征值相同是两个矩阵相似的必要而非充分条件。2、 相似矩阵有相同的秩。秩相等是方阵相似的必要而非充分条件。3、 相似矩阵有相同的可逆性，当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。4、若A与B相似，则Ak与Bk相似，kN,则（A）与（B）相似。1An与2相似nOnAn有n个线性无关的特征向量Pi,P2,Pn,且以它们为列向量组的矩阵P使P1AP,1,2,，n分别为与Pi,P2,Pn对应的An的特征值。i若An有n个互不相等的特征值1,2,，”，则An一定与2O相n似。An与相似对应于An的每个特征值的线性无关的特征向量的个数等于例 10、设矩阵A（1）
8、 求x与y;该特征值的重数。n r ( E A) k1242x2 与 B421其中k为的重数5000 y 0 相似0042）求可逆矩阵P，使P1APB001例11、设A11a，问a为何值时，矩阵A能相似对角化。100例12、设三阶矩阵A的特征值为11,22,33,对应的特征向量依次为11,1,1/，21,2,4/，31,3,9/，求矩阵A。例13、设三阶实对称矩阵A的特征向值1,1,1,与特征值1对应的特征向量为11,1,1，求A。八、化二次型为标准型，并求所用线性变换的矩阵例14、化二次型f(x1,x2,x3)x25x26x24x1x26x1x310x2x3为标准型，并求所用可逆线性变换的矩阵。例15、化二次型f(x1,x2,x3)2x1x22x1x36x2x3为标准形，并求所用可逆线性变换的矩阵。
