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1、习题51(A)1判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）如果函数仅在区间上有界，它在上未必可积，要使其可积，它在上必须连续；（2）如果积分（）存在，那么；（3）性质5也常称为积分不等式，利用它（包括推论）结合第三章的有关知识，可以估计积分的值、判定积分的符号，也可证明关于定积分的某些不等式；（4）定积分的中值定理是一个非常重要的定理，利用它能去掉积分号，同时该“中值”还是被积函数在积分区间上的平均值.答：（1）前者正确如狄利克雷函数在区间（其中）上有界，但是它在区间上不可积，事实上：将任意分成个小区间，（其中）记第个小区间长度为，先在上取为有理数，则，再在上取为无理数，则，对于的不同取法黎曼和
2、的极限不同，所以在区间上不可积；后者不正确，参见定理1.2（2）正确事实上：由于在区间上可积，则对的任意分法，的任意取法，都有，现在对区间等分，去在小区间的右分点，则，并且等价于，所以（3）正确它是证明关于定积分不等式的基础，参见例题1.3、1.4、1.5等（4）正确它可以起到去掉积分号的作用；也可以用来表示连续函数在区间上的平均值，但是由于位置不好确定，一般不用它来计算平均值，而是直接计算.2自由落体下落的速度，用定积分表示前10秒物体下落的距离. 解：根据定积分引入的实例，变速直线运动的路程，所以3一物体在力作用下，沿轴从点移动到点，用定积分表示力所做的功.解：将位移区间任意分成个小区间，
3、（其中）记第个小区间长度为，在上任取一点，用近似代替物体从移动到时所受的力，则物体从移动到时所做的功近似为，于是，记，则（假定极限存在）.4用定积分的几何意义求下列积分值：（1）； （2）.解：（1）如图，上半圆的面积，根据定积分几何意义，所以， （2）如图，面积，根据定积分几何意义，所以，5若函数在区间上连续，用定积分的几何意义说明：（1） 当为奇函数时，；（2） 当为偶函数时，. 解：（1）如图1，当是奇函数时，由对称性，面积，根据定积分几何意义，. （2）如图2，当是偶函数时，由对称性，面积，根据定积分几何意义，.6比较下列各组定积分的大小：（1）与； （2）与；（3）与；（4）与.解：
4、（1）因为在区间上，所以，即 （2）因为在区间上，所以，即 （3）因为在区间上，所以，即 （4）因为在区间上，所以，即7估计下列定积分的值：（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）设，在区间上显然有，又，于是函数在区间上的最小值为，最大值，而区间长度，根据，得 （2）设，由于函数在区间上单调增加，于是在区间上的最小值为，最大值，而区间长度，根据，得 （3）设，则，在区间上，于是函数 在区间上单调减少，所以在区间上的最小值为，最大值，而区间长度，根据，得 （4）设，则，有，在区间内得驻点，又，所以函数在区间上的最小值为，最大值，而区间长度，根据，得8证明下列不等式：（1）； （2）.证明：
5、（1）在区间上显然有，所以. （2）设，在区间上，于是函数在区间上单调增加，从而，即在区间上，所以.习题51(B)1右图给出了做直线运动的某质点在0到9s内的速度图象，求它在这段时间间隔内所走的路程.解：质点在0到9s内所走的有效路程为阴影面积的 代数和，即（单位）； 质点在0到9s内所实际走的路程为阴影面积的和，即（单位）2用定积分中值定理求下列极限：（1）； （2） 解：（1）由定积分中值定理，（其中），于是 （2）由定积分中值定理，（其中），由，有等价于，于是3若函数在区间（）上连续，且不恒等于，证明证明：设，由题目条件知，在区间上函数连续且又不恒等于零，于是有，使得，由连续函数的性质，
6、在区间内恒有，设区间（），所以，即，再由定积分的线性性，得4证明下列不等式： （1）；（2）（其中是正整数）.证明：（1）设，则，由，在区间内得驻点，又，于是函数在区间的最小值为，最大值为，从而，因为 ，所以 （2）在区间上显然有，且等号不恒成立，而函数、 都连续，根据本节习题（B）3，有，而由定积分的几何意义得，所以习题52(A)1判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）在定理2.1的证明中，被积函数连续的条件是不可缺少的；（2）若连续、可导，则的导数等于被积函数在上限处的值；（3）在连续、及可导时，通过将化成两个变上限定积分，可求得；（4）使用牛顿莱布尼兹公式计算定积分，首先要找到被积函数
7、在积分区间上的一个原函数，然后求该原函数在积分区间上的增量答：（1）正确定理的证明中两次用到连续性，一次是使用定积分中值定理时，再一次是最后求极限时（2）不正确应该是，即被积函数在上限处的值与上限处函数的导数之积（3）正确将函数改写为，再根据（2）求导（4）正确这就是牛顿莱布尼兹公式（其中是在区间上的一个原函数），但是要注意被积函数的连续性，对分段函数（或分区间连续函数）要分区间求2计算下列定积分：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）； （9）； （10）（11）； （12）；（13）； （14），其中解：（1） （2） （3） （4） （5）（6） （7）
8、 （8） （9）（10） （11） （12） （13） （14）3求下列函数的导数： （1）； （2）；（3）； （4）.解：（1） （2） （3） （4）4求下列极限： （1）； （2）； （3）； （4）.解：（1） （2） （3） （4）习题52(B)1 求变力沿数轴从点到点所做的功.解：根据习题5-1（A）3， 2设函数由方程，求.解：方程两边同时对求导，有，解得3若函数连续，设，求.解：，根据乘积求导法则，4证明：当时，函数取得最小值.证明：函数在内有定义，由得唯一驻点，又，于是是函数的唯一极小值点，从而也是最小值点，所以当时，函数取得最小值.5若函数在区间上连续，在内可导，且，设，
9、证明：在区间内.证明： （方法1）由定积分中值定理， （其中），由，有函数单调减少，而，得， 所以在区间内证明. （方法2）因为，所以（）， 由，有函数单调减少，而，于是，得，所以在区间内证明. （方法3）设，则， 于是函数在区间上单调减少，所以.6若函数可导，且，求极限.解： （注：由于未必连续，因此极限不能再用洛必达法则）7设函数在闭区间连续，且，证明方程在开区间有且仅有一个实根.证明：设，根据已知，函数在闭区间连续，又 ，由于连续函数，则，从而，由零点定理得方程在开区间至少有一个实根.而，单调增加，于是方程至多有一个实根，即方程在开区间至多有一个实根. 综上，证明方程在开区间有且仅有一个
10、实根.8若函数求函数在内的表达式解：当时，；当时，；当时，所以，习题53(A)1判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）在定积分的换元积分法中，要求被积函数在区间上连续，函数在以为端点的区间上有连续的导数，以保证在或上可积；（2）对定积分进行换元时，需要注意的是换元的同时要换积分限，这时还要特别注意换元后积分的下限要小于上限；（3）定积分也有与不定积分类似的凑微分法与三角代换法等换元法，具体采取哪种换元法，其依据与不定积分是相同的；（4）在利用奇、偶函数的积分性质时，不仅要注意被积函数的奇偶性，而且还要注意积分区间关于坐标原点必须是对称的.答：（1）正确此时在或上是连续的，因此它可积.（2）不
11、正确如，则，其中下限大，上限小；对积分作换元，原积分下限对应的值在换元后积分的下限上，原积分上限对应的值在换元后积分的上限上. （3）正确.（4）正确但是还需注意函数是可积的2计算下列定积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）； （7）； （8）；（9）； （10）（11）； （12）；（13）； （14）； （15）； （16）.解：（1）令，则，于是 （2）令，则，于是（3）令，则，于是 （4）令，则，于是 （5）令，则，于是（6）令，则，于是 （7）令，则，于是 （8） （9） （10）（11） （12） （13） （14） （15） （16）3计算下列定积分：（1）；
12、 （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）. 解：（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7）因为 ， 有，所以 （8）对积分，令，则，于是，所以，4试选择简便的方法计算下列定积分：(1) ； (2) ；(3) ； （4）.解：（1）因为是奇函数，所以 （2）设，于是是奇函数，所以 （3）因为是偶函数，所以 （4）因为是为周期的奇函数，所以5若函数连续，证明下列定积分等式：（1）； （2）.（3）；（4） .证明：（1）令，则 （2）令，则 （3）令，则 （4）令，则习题53(B)1计算下列定积分：（1）； （2）； （3）， 其中（4）， 其中.解：（1）令，则，于是 .（2）令，则，于是 或：令，则，于是 （3）令，则 （4） 对积分，令，则，所以2设，证明并计算.证明：.
