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1、2018-2019学年广东省深圳市四校发展联盟体高一（下）期中数学试卷一、选择题（每小题 5分，共12小题共60分）ba1. （5分）已知ABC中，则该三角形为（）sin A sin BD .不能确定A .等腰三角形B .等边三角形C.直角三角形2. （5分）某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯“，正方形做灯 底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在、处可依次写上（）第#页（共14页）B 快、新、乐C.新、乐、快D 乐、快、新3.（5分）已知a =（2,4）.则与a垂直的单位向量的坐标是（）4.5或(-或（T,T)2、55.5_52
2、晶5)55)或（,52 一 5、卡55(25(5(-I55(5分)已知m , n,“是两个不同平面，下列命题中错误的是A .若 m _ ：- , m“，则/ :B .若 m / / n , m _ ：，贝V n _C.若 m/:,:门-二n，贝V m/nD.若m二s , m二，则5.(5 分)在 ABC 中，b=19 , c=20 ,B =60，那么这样的三角形有 （）C. 2个6.（5分）如图，正方形 ABCD中，点E , F分别是DC , BC的中点，那么EF =（DEC22B . - 1a-1AD2C.-1AB27D2 27. （ 5分）已知等腰三角形的底边长为6, 腰长为12，则它的外
3、接圆半径为（）C.D. 63& （ 5分）某人朝正东方向走 xkm后,向朝南偏西60的方向走3km，结果他离出发点恰好2.33km，那么x的值为（C.39. （ 5分）四面体ABCD中,AD二BC，且AD _BC , E、F分别是AB、CD的中点，则EF与BC所成的角为A . 3045C.60D. 9010. （5分）已知向量a，b满足向=3 , |b|=2、可,且a _（a b），则b在a方向上的投影C.A. -3 11. （5分）将一正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是原正方体体积的（）12. （5分）在 ABC中，C =3B，则c的取值范围为（）b2 3A. （丁 ）2
4、 2二、填空题（每小题B . C 2 , 3)C. (1, 3)(1,3)5分，共20分）13. （ 5分）已知向量a=(2x,7), b=(6,x 4)，当 x 二时,a / /b .14. （5 分）在 ABC 中，a =5，b =7，c =8，则 ABC 的面积为15. (5 分)一个底面直径是 32cm的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没,水面上升了9cm .则这个球的表面积是2cm .16. (5 分)如图，正方形 ABCD的边长为1,延长BA至E，使AE =1，连接EC、ED，三、解答题（每大题有 6小题，共70分）17（10分）如图所示，在ABC中，CDA着冷记，乩b
5、 求证：忒3（b吕-18. （ 12 分）如图，在四边形 ABCD 中，已知 AD _CD , AD =10 , AB =14 , BDA = 60 ,.BCD =135，求 BC 的长.19. （12 分）.ABC 的角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 asin A bsin B csinC = asinB .（1）求角C ；3_（2）若a b =5，三角形的面积S.abc 3，求c的值.20. （12分）如图，已知四棱锥的底面是边长为 4cm的正方形，E为BC的中点，高为PO , OPE =30，且侧棱长都相等，求该四校锥的侧面积与表面积.ABJT21. （1
6、2分）在ABC中，内角A , B , C对边的边长分别是 a , b , c ,已知c =2 , C二一.3（I）若 ABC的面积等于.3，求a , b ;（H）若 sinC sin（B-A）=2sin2A,求.ABC 的面积.22 . （ 12分）如图，在长方体ABCD -ABGD!中，点E在棱C。的延长线上，且求证：D,E / / 平面 ACB,；cg =ge =bc Jab =1 .2求证：平面 DE _平面DCB,；2018-2019学年广东省深圳市四校发展联盟体高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5分，共12小题共60分）ba1. （ 5分）已知.ABC中，则
7、该三角形为（）sin A sin BA .等腰三角形B .等边三角形C.直角三角形D .不能确定【解答】解：t a ，可得bsi nB =asi nA ,sin A sin B又由正弦定理 ，可得b2二a2 ,sin A sin B.可得b二a ,三角形为等腰三角形.故选：A.2. （5分）某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯“，正方形做灯 底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在、处可依次写上（）A 乐、新、快B 快、新、乐C.新、乐、快D 乐、快、新【解答】解：根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为年, 故选：B
8、 .3. （ 5分）已知a =（2,4）.则与a垂直的单位向量的坐标是（）【解答】 解：a =（2,4），设与2垂直的单位向量为Ib =(x, y)；则X2八12x 4y =0X25x 5 解得5或I 弱x=-L55弱，.所求向量的坐标是或（2.55故选：D .4. （ 5分）已知m , n是两条不同的直线,-是两个不同平面，下列命题中错误的是（m -，则鳥/ :B .若 m / /n , m I，则 n 丨：C .若mil】,:Q - =n，贝U ml inD .若 m _ : - , m :，则=L ：【解答】解：对于A，若ml，, m.l根据线面垂直的性质定理以及面面平行的判定定理得到:
9、-ll ；故 A正确;对于B，若m/n , ml，.、，根据线面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理得到n：-;故B正确；对于C，若m/ / :, n - ” ，则m/n异面或者相交；故C错误；对于D，若m I，m -根据面面垂直的判定定理得到: _ -;故D正确；故选：C .5. （5分）在 ABC中，b =19 , c=20, B =60，那么这样的三角形有 （）A . 0个B . 1个C. 2个D. 3个【解答】 解：在 ABC中，b =19 , c=20 , B=60 ,.由余 弦定理 b2 =a2 c2 -2accosB , 得：36 1 4 0 a2- 22 0 cqs 得0：2a
10、20a 39 =0, （*） =202 - 4 1 39 = 244 0 ,且两根之和、两根之积都为正数，方程（*）有两个不相等的正实数根，即有两个边a满足题中的条件.由此可得满足条件的 ，ABC有两个解.故选：C .-16. （ 5分）如图，正方形 ABCD中，点E , F分别是DC , BC的中点，那么EF =（）第6页（共14页）DEC2 2B . - 1A-1AD2 2C.-1AB27D2 2Hid2 2【解答】解：因为点E是CD的中点，所以eCITB ,2点得F是BC的中点，所以2 2所以 EF =ec CF 二1 AB -1 AD,2 2故选：D .7. （ 5分）已知等腰三角形的
11、底边长为6, 腰长为12，则它的外接圆半径为（7 155B . 8J1C. 43D. 6 3【解答】解：设顶角为二，由余弦定理可得36 =122122_2 12 12 cos ,6sin V=2R7ic解得cos6,“，再由正弦定理可得:故选：B .& （ 5分）某人朝正东方向走 xkm后，向朝南偏西60的方向走3km，结果他离出发点恰好3km，那么x的值为（）A. 2 3 或 3B. 2.3C. 、3D. 3【解答】解:由题意，设从A地朝正东方向走xkm后到达B地，向朝南偏西60的方向走3km ,到达C地，则由题意，在 ABC 中，AB =xkm , BC =3km , AC =：$3km
12、, . ABC =30 ,由余弦定理得 3=9，x2-6x cos30 ,解得x =2.3或.3 .故选：A .9. （ 5分）四面体 ABCD中，AD = BC，且AD _BC , E、F分别是AB、CD的中点，贝U 第7页（共14页）【解答】 解：将正方体 ABCD ABQQ截去四个角后得到一个四面体BDAC1,为（）-b在a方向上的投影|a|3EF与BC所成的角为（）A . 30B . 45C. 60D. 90【解答】解：取AC的中点，连接EF ,则：在四面体 ABCD中，E、F分别是 AB、CD的中点，所以：EG/BC， FG/AD由于：AD =BC，且 AD _ BC，EG =FGA
13、D =-BC2 2所以：.EFG是等腰直角三角形.所以：EF与BC所成的角为.GEF =45活口,百，且a _（a b），则b在a方向上的投影3亦A. -3B.C. 32【解答】解：；a_（a）,故选：A.11. （ 5分）将一正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是原正方体体积的（）C.设正方体边长为a ,则V _B AC =Va _abd11a ： a ： a323 a 6.四面体BDACi的体积:V =V正方体4V3 2a3-4Vb _b A C :3.这个四面体的体积是原正方体体积的故选：C .12. （5 分）在ABC 中,C =3B，则C的取值范围为（b(3)2 2B. ( 2 , 3)C. (1,.3)D. (1,3)【解答】解：利用正弦定理：C =SinC =Sin3Bb sin B sin B_ sin2BcosB cos2 BsinBsin B=2cos2 B 2cos2 B -1 ,= 4cos2 B1 ,由于：A B V =二，所以：A 47:,故：A -二-4B ,则：0 ：: B ：-4所以 4cos2
