《福建师范大学22春《近世代数》离线作业二及答案参考56》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建师范大学22春《近世代数》离线作业二及答案参考56（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、福建师范大学22春近世代数离线作业二及答案参考1. 问向量=(2，3，一1)T是否为向量组1=(1，一1，2)T；2=(一1，2，一3)T；3=(2，一3，5)T的线性组合?如果是问向量=(2，3，一1)T是否为向量组1=(1，一1，2)T；2=(一1，2，一3)T；3=(2，一3，5)T的线性组合?如果是，求其组合系数正确答案：设1x1+2x2+3x3=rn即：故不能用克莱姆法则rn所以x1=7一c；x2=5+c；x3=c为任意常数故=1(7一c)+2(5+c)+3crn c为任意常数设1x1+2x2+3x3=,即：故不能用克莱姆法则所以x1=7一c；x2=5+c；x3=c为任意常数故=1(
2、7一c)+2(5+c)+3c,c为任意常数2. 用k种颜色对一个正五角形顶点进行着色，求不等价着色数。用k种颜色对一个正五角形顶点进行着色，求不等价着色数。置换群为 G=I，2，3，4，1，2，3，4，5 G的循环指数为 故由定理可得 3. 函数设f(x1)x22x5，则f(x)_设f(x1)x22x5，则f(x)_正确答案：f(x)x26f(x)x264. 设从某总体抽出容量为5的样本：8，9，10，11，12，试计算该总体的样本均值与样本方差S2。设从某总体抽出容量为5的样本：8，9，10，11，12，试计算该总体的样本均值与样本方差S2。 5. 关于函数极限和数列极限的关系，有哪些应用？
3、关于函数极限和数列极限的关系，有哪些应用？我们有下述定理给出的更强的结果： Heine归并定理 极限存在的充分必要条件是：对任何数列xn，满足xnx0(n)且xnx0(nN+)，有存在. 这个性质称为函数极限的归并性，它有以下一些应用： (1)证明极限不存在，只需找出一个数列xn：xnx0(n)，且xnx0(nN+)，数列f(xn)发散；或找出两个数列xn和xn：xnx0，xnx0(n)，xnx0，xnx0(nN+)，数列f(xn)和f(xn)有不同的极限 (2)为求极限，可以先找一个数列xn：xnx0(n)，xnx0(nN+)，求出数列f(xn)的极限：.然后，再证明. 6. 在数域F上x2
4、3x2可以分解成几个不可约多项式A、1.0B、2.0C、3.0D、4.0在数域F上x2-3x+2可以分解成几个不可约多项式A、1.0B、2.0C、3.0D、4.0正确答案： B7. 证明：同余类的乘法是Zn的一个代数运算证明：同余类的乘法是Zn的一个代数运算正确答案：设(ijst均为整数)则rn n|i-sn|j-trn于是n整除rn i(j一t)+(is)t=ij一strn从而rnrn即同余类的乘法是Zn的一个代数运算设(i,j,s,t均为整数),则n|i-s,n|j-t于是n整除i(j一t)+(is)t=ij一st从而即同余类的乘法是Zn的一个代数运算8. 设f(n)(x0)存在，且f(x
5、0)=f&39;(x0)=f(n)(x0)=0，证明 f(x)=o(x-x0)n(xx0).设f(n)(x0)存在，且f(x0)=f(x0)=f(n)(x0)=0，证明f(x)=o(x-x0)n(xx0).证 根据题设，依次应用柯西中值定理n-1次，得 ， 其中1，n-1均介于x，x0之间，且当xx0时1，n-1均趋于x0，于是 ， 故f(x)=o(x-x0)n 9. 设f(x)在a，)上连续，且当xa时，f&39;(x)k0其中k为常数若f(a)0，则方程f(x)=0在内有且仅有一个实根设f(x)在a，+)上连续，且当xa时，f(x)k0其中k为常数若f(a)0，则方程f(x)=0在内有且仅
6、有一个实根利用微分中值定理可得，(a，af(a)k)，使得f(a?f(a)k)-f（a）=f（）(?f(a)k)因为当xa时，f（x0）k0，故f(af(a)k)-f（a）=f（）?(?f(a)k)k?(?f(a)k)=-f（a），从而，f(af(a)k)0又因为f（a）0，且f（x）在a，+）上连续，故利用连续函数的零点存在定理可得，(a，a(a)k)，使得f（）=0下面证明的唯一性如果存在12，使得f（1）=f（2）=0，利用罗尔中值定理可得，?(a，af(a)k)，使得f（）=0，这与f（x）k0（xa）矛盾，故方程f（x）=0在区间(a，a?f(a)k)内有且仅有一个根10. 如果一个
7、n(n1)阶行列式中元素均为+1或-1，则行列式的值是否一定为偶数?如果一个n(n1)阶行列式中元素均为+1或-1，则行列式的值是否一定为偶数?正确答案：一定。根据行列式的性质若将该行列式的任意一行加到另外一行对应元素上去得到的行列式中一定有一行元素全为偶数(零也是偶数)则该行元素可提出公因子2剩下的行列式元素都是整数其值也是整数乘以2后必定是偶数故行列式的值一定为偶数。一定。根据行列式的性质,若将该行列式的任意一行加到另外一行对应元素上去,得到的行列式中一定有一行元素全为偶数(零也是偶数),则该行元素可提出公因子2,剩下的行列式元素都是整数,其值也是整数,乘以2后必定是偶数,故行列式的值一定
8、为偶数。11. 设R是自然数集N上的关系且满足xRy当且仅当x+2y=10，其中，+为普通加法，计算以下各题设R是自然数集N上的关系且满足xRy当且仅当x+2y=10，其中，+为普通加法，计算以下各题R=0，5，2，4，4，3，6，2，8，1，10，0，则 domR=0，2，4，6，8，10$ran R0，1，2，3，4，5$R-1=5，0，4，2，3，4，2，6，1，8，0，10 12. 设f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=0，,试证存在点(a，b)，使f&39;()=0设f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=0，,试证存在点(a，b)，使f()=0由
9、于f(x)在a，b上可导，可知f(x)在a，b上必定连续,设在(a，b上f(x)0，则由定积分的不等式性质可知 与已知矛盾，这表明在(a，b上不可能总有f(x)0,相仿可证在(a，b上不可能总有f(x)0,因此必定存在一点c(a，b，使 f(c)=0在a，c上对f(x)利用罗尔定理可知至少存在一点，使f()=0由于f(x)在a，b上可导，f(a)=0，如果能找到一点c(a，b，使f(c)=0，则利用罗尔定理可证所给命题,由(1)可知c必定存在 13. 求下列微分方程边值问题的格林函数：求下列微分方程边值问题的格林函数：先求边值问题y=0，y(0)=1，y(1)=2的解方程有基解组y1=1，y2
10、=x通解为y=c1+c2x代入边值条件有解y=1+2x设边值问题y=f(x)，y(0)=0，y(1)=0的格林函数为 由齐次方程边值条件得a1(t)=0，b2(t)=0 利用结果，有 解得b1(t)=-t，a2(t)=-1 即格林函数为 解为最后，原非齐次边值问题的解为 $齐次方程的两个线性无关解为，y2=1，令其格林函数为 利用p0(x)=x2有 由边值条件y(1)=y(1)得b1(t)+b2(t)=-b1(t)又由当x0时y(x)有界条件知，应取a1(t)=0 于是有b1(t)=-1，b2(t)=1+，格林函数为 $齐次方程是欧拉方程，可令y=xK，代入得K(K-1)+2K=K(K+1)=
11、0，有通解y=c1+c2x-1用常数变易法，令y=c1(x)+c2(x)x-1，则y=c1+c2x-1-c2x-2，设c1+c2x-1=0，于是y=-c2x-2，y=-c2x-2+2c2x-3将其代入方程得 x2y+2xy=-c2+2c2x-1-2c2x-1=-c2=f(x)， 而由c1+c2x-1=0又有c1=-c2x-1=x-1f(x)，最后得非齐次方程的特解其通解为利用边值条件有c2=-c1=于是有可定义格林函数 边值问题的解为 ，(1x3) 14. 若级数与分别收敛于S1与S2，则以下成立的是( ) A B C D若级数与分别收敛于S1与S2，则以下成立的是()ABCDABC由收敛级数
12、的基本性质可知：(A)，(B)，(C)均正确；(D)错误当S2=0时不成立15. 设(X1，X2，Xn)是取自正态总体N(，1)的一个样本，其中未知，-+试求k+C的双侧1-置信区间，其中k，C是常设(X1，X2，Xn)是取自正态总体N(，1)的一个样本，其中未知，-+试求k+C的双侧1-置信区间，其中k，C是常数，k0由于已知，选用样本函数的分布16. 从数集1，2，20中选3个数的集合。如果没有2个相连的数字在同一个集合中，那么能够形成多少3个数的集合?从数集1，2，20中选3个数的集合。如果没有2个相连的数字在同一个集合中，那么能够形成多少3个数的集合?设g(20，3)为这样3个数的集合
13、数。对每个这样的集合，或者含有20或者不含20，如果含有20，则另两个元素在1，2，18中选且不相连，有种选法。如果不含20，则三个元素均在1，2，19中选且无2个数相连，这样集合数为g(19，3)。因此 同样，g(19，3)个集合又可分为包含19与不包含19两类，则 因此 17. 矩阵设3阶矩阵A的特征值是2，3，若行列式2A48，则_设3阶矩阵A的特征值是2，3，若行列式2A48，则_正确答案：应填1分析利用矩阵的行列式的性质和特征值计算对应矩阵的行列式即得详解因A的特征值的乘积等于A，又A为3阶矩阵，所以2A23A232348，故118. 求柱面x2+y2=R2与二平面x-2y+z=4，2x+3y-z=8所围空间区域的体积。求柱面x2+y2=R2与二平面x-2y+z=4，2x+3y-z=8所围空间区域的体积。12R219.
