实验报告—数值分析

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1、数值分析实验报告姓 名： 学 号： 专 业： 指导教师： 刘 建 生 教 授 日 期： 2015年12月25日 实验一 Lagrange/newton插值一：对于给定的一元函数的n+1个节点值。试用Lagrange公式求其插值多项式或分段二次Lagrange插值多项式。数据如下： 0.4 0.55 0.65 0.80 0.95 1.05 0.41075 0.578150.696750.90 1.00 1.25382 求五次L计算,的值（提示：结果为, ） 1 2 3 4 5 6 7 0.368 0.135 0.050 0.018 0.007 0.002 0.001 试构造Lagrange多项式

2、，计算的,值。（提示：结果为, ） 二：实验程序及注释MATLAB程序：function f=lagrange(x0,y0,x )n=length(x0);m=length(y0); format longs=0.0;for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(x-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=s+y0(k)*p;End f=s; end结果运行：结果与提示值完全吻合，说明Lagrange插值多项式的精度是很高的；同时，若采用三点插值和两点插值的方法，用三点插值的精度更高。若同时采用两点插值，选取的节点距离x越近，精度越高。三：采

3、用newton插值进行计算算法程序如下：format long; x0=0.4 0.55 0.65 0.80 0.95 1.05 ;y0=0.41075 0.578150.696750.90 1.00 1.25382 ;x=0.596; n=max(size(x0);y=y0(1); %disp(y);s=1;dx=y0; for i=1:n-1 dx0=dx; for j=1:n-i dx(j)=(dx0(j+1)-dx0(j)/(x0(i+j)-x0(j); end df=dx(1); s=s*(x-x0(i); y=y+s*df; %计算 %disp(y);enddisp(y)运行结果：

4、绘制出曲线图：与结果相吻合。所以newton法和Lagrange法的思想是一样的。Lagrange适合理论分析，但Lagrange法不如newton法灵活。Lagrange如果节点个数改变，算法需要重新编写，而Newton法克服这一缺点，所以应用更为灵活。实验二 函数逼近与曲线拟合 一、问题提出 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量与时间t的拟合曲线。 t(分钟)0510152025303540455055y（10）01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.024.64要求： 1、用最小二乘法进行曲线拟合； 2、近似解析表达式为f(x)

5、=at+ at+ at；3、计算出拟合函数f(x)，并列出出f(x)与y(x)的误差； 4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较； 5、绘制出曲线拟合图。二、 问题分析三、从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。三、实验程序及注释三次拟合程序（最小二乘法）：t=0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55%输入时间t的数据y=0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.64%输入含碳量数据p,s=polyfit(t,y,3

6、)%调用MATLAB最小二乘法的程序进行三次拟合并给出误差分析format long%14位精度小数plot(t,y,*r)%绘制被拟合数据点的离散图hold onplot(t,y1,b)%绘制三次拟合函数图（其中y1是拟合之后的数据）xlabel(时间t（分钟）) %注释x轴ylabel(含碳量/10-4) %注释y轴title(三次拟合图) %注释图名grid%坐标系网格化四次拟合程序（最小二乘法）：p,s=polyfit(t,y,4) %调用MATLAB最小二乘法的程序进行四次拟合并给出误差分析format long%14位精度小数plot(t,y,*r)%绘制被拟合数据点的离散图hol

7、d onplot(t,y2,b)%绘制三次拟合函数图（其中y2是拟合之后的数据）xlabel(时间t（分钟）) %注释x轴ylabel(含碳量/10-4) %注释y轴title(四次拟合图) %注释图名grid%坐标系网格化四、实验数据结果及分析三次拟合可以得到其拟合多项式为：=0.00003436415436t-0.00521556221556t+0.26339852739853t+0.01783882783883 拟合函数与被拟合函数图之间的对比如下：（1） 红色星号为原始数据；（2） 带圈的曲线为最小二乘后而成的结果曲线。由此可见拟合函数与原函数离散数据点拟合成程度相当好，通过p,s=p

8、olyfit(t,y,n)对拟合误差进行分析，如图：图2-2由此可知，三次拟合精度较好。为了提高结果的可信度，我们另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较。于是，进行四次拟合：其中，拟合得到的多项式为：=0.00000060256410t-0.00003191789692 t-0.00293227466977t+0.23806931494432t+0.06044871794872拟合如图2-3图2-3同样对四次拟合进行误差分析可得：图2-4由此可见，四次拟合误差0.494930.50824(三次拟合误差)，精度更高。五、实验结论在用高阶多项式对某一函数进行曲线拟合时,并不是拟合出来的多项式与

9、被拟合函数在整个区间上都能符合,polyfit()只能保证在输入数据x所能达到的区间上及其附近.求得的多项式可以最大限度在逼近原函数。利用最小二乘法对本问题进行的曲线拟合精度较高，而且，在一般情况下，拟合的多项式次数越多，精度越高。 实验三 数值积分与数值微分 一、问题提出 计算下列积分值：（1） （2） （3） （4） 要求：1、 编制数值积分算法的程序； 2、 分别用两种算法计算同一个积分，并比较其结果； 3、 分别取不同步长，试比较计算结果（如n = 10, 20等）； 4、 给定精度要求，试用变步长算法，确定最佳步长。二、问题分析由上可知这四个积分找不到用初等函数表示的原函数，直接计算

10、起来很困难，因此我们考虑利用函数在若干点得函数值，近似地计算该函数在一个区间上得定积分。这里采用的方法有三种：复合梯形公式，复合Simpson公式，Romberg算法。三、实验程序及注释1、复合梯形公式MATLAB程序：function I=T_quad(x,y)%复化梯形求积公式，其中，% x为向量，被积函数自变量的等距节点；% y为向量，被积函数节点处的函数值；n=length(x);m=length(y);if n=m error(the length of X and Y must be equal!); return;endh=(x(n)-x(1)/(n-1);a=1 2*ones(

11、1,n-2) 1;I=h/2 * sum(a.*y);%2、复合Simpson公式MATLAB程序：function I=S_quad(x,y)% x为向量，被积函数自变量的等距节点；% y为向量，被积函数节点处的函数值；n=length(x);m=length(y);if n=m error(the length of X and Y must be equal!); return;endif rem(n-1,2)=0 %如果n-1不能被2整除，则调用复化梯形公式 I=T_quad(x,y); return;endN=(n-1)/2;h=(x(n)-x(1)/N;a=zeros(1,n);f

12、or k=1:N a(2*k-1)=a(2*k-1)+1; a(2*k)=a(2*k)+4; a(2*k+1)=a(2*k+1)+1;endI=h/6*sum(a.*y);%3、Romberg算法MATLAB程序：function I=R_quad_iter(fun,a,b,ep)% Romberg求积公式，其中，% fun为被积函数；% a,b为积分区间端点，要求ab;% ep精度系数，缺省值为1e-5.if nargin 1; T(m+1,k+1)=(4k*T(m+1,k)-T(m,k)/(4k-1); M=M/2;k=k+1; end if abs(T(k,k)-T(k-1,k-1)ep break; end m=m+1;endI=T(k,k);%4、 自适应步长梯形公式：function I=R_quad_iter(fun,a,b,ep)% 梯形递推求积公式，其中，% fun为被积函