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1、5.4（1）两角和与差的正、余弦公式一、教学目标：1. 知识与技能：掌握两角和与差的余弦公式，并能从正反两面运用公式解决问题2. 过程与方法：让全体学生能理解“先猜后证”、“从特殊到一般”的常用探究步骤；在两角和的余弦公式探究过程中能体会以退求进、割补思想、观察联想等数学思想和思维方法；体会到数学思维的合理性与条理性3. 情感、态度、价值观：能感受到公式的对称美；能体验乐于思考和主动探究的精神，并有愉悦的情感体验；能体会到每一种数学知识的发现、与证法都是一种伟大的创新。二、教学重点和难点：1. 教学重点：两角和的余弦公式的推导与证明；2. 教学难点：两角和与差的余弦公式的运用；三、教学过程：（
2、一）提出问题 问题1：观察诱导公式，我们会发现：当角变成或者时，其正弦、余弦的三角函数值都与角的正弦、余弦有关，那大家有没有想过当角变成或者乃至更一般的时，其正弦、余弦与的正弦、余弦又有怎样的联系呢？（二）探究问题1明确探究的思路与步骤问题2：我们应该用怎样的思路和方法进行探究？ 学生可能会说：把探究分为两个步骤，一是探求表示结果；二是对结果的正确性加以证明2猜想结果若有学生提出，则引导学生取特殊值进行验证。错误的原因：正弦、余弦函数名与角之间并不是相乘关系，因此类比乘法分配律在思维方法上是错误的引导学生以退求进，先讨论都是锐角情况问题3：当都是锐角时，我们又该怎么办？引导学生在直角三角形或单
3、位圆中构造这些角进行讨论问题4：怎样用的三角函数线来表示，? 引导学生构造如下直角三角形，并用割、补的方法得到，问题5：那上面两个式子是否能推广到对任意角都成立呢？3证明结果联系对任意角的推广方法，将模型引入到平面直角坐标平面内，利用两点间距离公式即解析法去证明。问题6：刚才我们经历了完整、曲折的探索过程，回顾来看，大家有什么启发和感悟？ 引导学生从探究思路、数学思想方法等方面进行回顾与反思，强化学生的思维发展，突出“先猜后证”以及“从特殊到一般”问题7：书上用相同的方法证明了两角差的余弦公式，能否从代数方法直接得到？令为，则 问题8两角和与差的余弦公式有什么特点？引导学生总结公式的特点：左边
4、是两角和（差）的余弦，右边同名三角函数的积的差（和）(三)巩固应用例1 利用和差角的余弦公式求与的值巩固练习求值：(1) (2) 例2 本节课开始所设的问题： ， 导出第五组诱导公式： 第六组诱导公式： 例3 已知，求的值变式训练：2. 已知，求的值.(四)回顾小结1学生小结：引导学生从学到了什么知识、怎么获得这些知识和有什么感悟与体会三方面进行小结2教师小结：(1)本节课所走过的路： (2)两位数学大家的名言很好地概括了本节课的探究思路与学习感悟：G波利亚：“在你证明一个数学定理之前，你必须猜想到这个定理；在你搞清证明细节之前，你必须猜想出证明的主导思想”高斯所说：“一个人在无结果地深思一个
5、真理后能够用迂回的方法证明它，并且最后找到了它的最简明而又最自然的证法，那是极其令人高兴的假如别人和我一样深刻和持续地思考数学真理，他会作出同样的发现”衷心祝愿大家通过数学学习变得更加聪明、更加富有创造力四、设计意图及思考：宗旨：让学生对探究的过程与思路、方法有一个清晰的认识，从而达到“教思维”的目的由于教材直接提出两角和与差，回避了为什么要先研究这个问题、怎样想到先研究这个问题，因此研究和思维的切入点作了调整，将教学重心前移，强化了公式的发现和证明的过程力求将整节课聚焦于问题的提出、猜想的发现、证明思路的探讨，强化了学生对数学思想方法和思维方式的感悟。对于所探究公式的选择，出于可能更习惯于先想到和角，因而选择了与教材不同的对象来作尝试。另外，由于上海教材的编排体系，向量在后，因而依然不能很好的解释为什么要先研究和差角的余弦，只得予以回避。
