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1、第一章绪论1. 设x 0,X的相对误差为5，求lnx的误差。e * x * - x解：近似值x *的相对误差为5 = e* = r = r x * x *而 ln x 的误差为 e (ln x *)= In x * -In x e *x*进而有 (ln x*) *2. 设x的相对误差为2%,求xn的相对误差。解：设f(x) = xn，则函数的条件数为c =ixf (x) I pf (x)x - nxn-1又f (x) = nxn-i,C =II= np n又,: (x*)n) C (x*)且e (x*)为2r:. (x*)n) 0.02n3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超
2、过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：x*= 1.1021 x*= 0.031 x*= 385.6 x*= 56.430 x* = 7x 1.0.12345解：x* = 1.1021是五位有效数字；x; = 0.031是二位有效数字；x; = 385.6是四位有效数字；x： = 56.430是五位有效数字；x* = 7 x 1.0.是二位有效数字。54. 利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) x* + x* + x*,(2) x*x*x*,(3) x*/x*.12412324其中x*,x*,x*,x*均为第3题所给的数。1234解：8（X*） = X10-41 28（X*
3、） = 4x1032 28（X*） = xlO-13 2（*） = X10-34 28（X*） = xlO-15 2（1）E（X* + X* + X*） 124二8（X*） + （X*） + （*）124X 104 + X 103 + X 103222= 1.05x10-3（2）e（x*x*x*）1 2 3（%*）+ jrx* 8（x*）+ xw 8（x*）1 11|1.1021x0.031|x-x10-i + |0.031x385.6|x-x10-4 + |1.1021x385.6|x-x10-32 22q 0.215（3）8 3*/x*） 24X* （*）+ X* 8（X*）R _244-
4、X* 240.031x1x10-3+ 56.430 xlxl0-32256.430x56.430= 10-55计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R时允许的相对误差限是多少?4解：球体体积为/ 兀R3则何种函数的条件数为. 8 （V*）8 （*） = 38 （7?*）vp rr又.（y*） = l故度量半径R时允许的相对误差限为8 r(R*) = 3 X1 0.336.设Y0 = 28，按递推公式Y = Y 1 -100 J783(n=1,2,.)计算到、。若取783浇27.982 (5位有效数字)，试问计算、将有多大误差?解Y=Y-1 一制质Y = Y - V783100991 00Y
5、= Y -上.顽9998 1 00Y = Y -上寸7839897 1 00Y = Y - 783 10 100依次代入后，有匕0=-100 x总据3 即00 =一J783,若取7783 牝 27.982,A。= Y- 27.982 8 (Y* ) = 8 (Y) + 8 (27.982) =1 x 10-3 1000200的误差限为2 X10-3。7.求方程X2 -56x +1 = 0的两个根，使它至少具有4位有效数字(V顽=27.982)。解：x2 - 56x +1 = 0 , 故方程的根应为X2= 28 7783故 气=28 + 妫3 注 28 + 27.982 = 55.982 X1具
6、有5位有效数字X = 28783 =1=:228 +783128 + 27.982155.982总 0.017863X2具有5位有效数字8.当N充分大时，怎样求n+1dxN 1 + X2解 j N+1 - dx = arctan(N +1) - arctan NN 1 + x 2设a = arctan(N +1),P = arctan N 。则 tan a = N + 1,tan P = N.尸+1-+1_- dx=a P=arctan(tan(a P)tan a tan P=arctan-1 + tan a tan PN +1 N =arctan1 + (N + 1)N1 =arctanN
7、2 + N +19.正方形的边长大约为了 100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过1 cm2 ?解：正方形的面积函数为A( x) = x 2当 x* = 100 时，若 (A*) 1,则 (x*) 0. (S*) = gt2 (t*)当t *增加时，S *的绝对误差增加 (S*)=嘉r S *|_ gt 2 (t*)=13、g(t*)2/ (t*)=2t *当t *增加时， （t*）保持不变，则S *的相对误差减少。11.序列y 满足递推关系y = 10y -1 (n=1,2,), nnn-1若0 = ；2匚L41 （三位有效数字），计算到ye时误差有多大？这个计算过程稳定吗? (y *)
8、 = 2 x 10-2. y =10 y 1 -1. yL0 y。-1.y2=10 y1 - 若通过一 计算y值，则 （点 +1）6捉史*) =10(L. ( y *) = 102 ( y *)20. (y *) = 1010 (y *)100=1010 x x 10-22=1 x 1082计算到七0时误差为2 x108，这个计算过程不稳定。12.计算f =（技1）6，取点 5.4，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好?Z16，(3-)3, (3 + 22)3，99 - 70 点。解：设 y =（x1）6， 若x =寸2，x* = 1.4，则(x*) = Lx10-1。2（）*） =6x（X
9、* +1）76浮3）8（X*）（X* +1）72.53浮（工*）若通过(3-22)3计算y值，则8（y*）= -3x 2x （3-2x*）2 （%*）6y*）3-2x*30y*8（x*）若通过c : K、计算y值，则(3 + 2 很)3s（r） = -3x:（）（3 + 2x*）4 1 ,、= 6xy*g（x*）（3 + 2jt）7=1.0345y*8（x*）通过（3 + ；j3）3-计算后得到的结果最好。13. f3) = ln(x-序二J),求f(30)的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式。ln(x-Vx2-1) = -ln(x +计算，求对数时误差有多大？
10、解. f(x) = ln(x - 7x2-1),/(30) = ln(30 - 899)设 M = V899,y = /(30)则* = 29.9833.（*） = 1-X10-4( y *) j (u *)|30- u *1/八=*(U * )0.0167就3x10-3若改用等价公式ln( x x2 1) = ln( x + t x2 1)则 f (30) =-ln(30 +、899)此时，(y * ) = 11(u *)30 + u *1 ，八8( U * ) 59.9833q8x10-7第二章插值法1.当x = 1,1,2时，f (x) = 0, 3,4,求f (x)的二次插值多项式。解
11、：x = 1, x = 1, x = 2,f (x ) = 0, f (x ) = -3, f (x ) = 4;012l (x) = ,(x一x1)(x-y =-1(x + 1)(x-2) 0(x - x )(x - x )2l (x) = (x-x0)(xx2) = 1(x- 1)(x-2)1(x - x )(x - x ) 61 (x) = -M-x = 1(x- 1)(x + 1)2 (x - x )(x - x ) 3则二次拉格朗日插值多项式为L (x) = y l (x)2k kk=0=3/ (x) + 4/ (x)1 , 4=-(x - 1)(x 2) + (x - 1)(x +
12、 1)5 37=x2 + x 6 232.给出f (x) = Inx的数值表X0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。解：由表格知，x 0.4, x 0.5, x 0.6, x 0.7, x 0.8; f(x ) 0.916291, f (x ) -0.693147 f (x ) -0.510826, f (x ) -0.35667523f (x4) -0.223144若采用线性插值法计算ln0.54即f (0.54)，则 0.5 0.54 0.6xl (x) *
13、 10(x 0.6)1 x - xxx12( x) = 10( x - 0.5)L (x) f (x )1 (x) + f (x )1 (x)1 1 12 26.93147( x - 0.6) - 5.10826( x - 0.5) /. L (0.54) -0.6202186 -0.6202191若采用二次插值法计算ln0.54时，10( x)(x x f - 50(x - 0.5)(x - 0.6)(x - x )(x - x )1 (x) (x x0)( x x2) -100( x - 0.4)( x - 0.6) 1(x - x )(x - x )1 (x) - (x x0)(x x 50(x-0.4)(x-0.5)2 (x - x )(x - x )20 01 12 2L (x) f (x )1 (x) + f (x )1 (x) + f (x )1 (x) -50 x 0.916291(x
