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1、高考数学最新资料专题能力训练8利用导数解不等式及参数范围专题能力训练第20页一、能力突破训练1.已知函数f(x)=ax2+bx-ln x,a,bR.(1)若a0,且b=2-a,试讨论f(x)的单调性;(2)若对b-2,-1,x(1,e)使得f(x)0成立,求实数a的取值范围.解(1)f(x)=2ax+(2-a)-=.当-,即a,即0a-2时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为,.(2)对b-2,-1,x(1,e)使得ax2+bx-ln x0成立,即ax2-x-ln x0在区间(1,e)内有解,即a在(1,e)内有解,即a.令g(x)=,则g(x)=.x(1,e),g(x)0,即在区间(1
2、,e)内g(x)单调递减.ag(1)=1.故实数a的取值范围为a0,所以f(x)在区间(0,+)单调递增.若a0,则当x时,f(x)0;当x时,f(x)0时,f(x)在x=取得最大值,最大值为f=ln+a=-ln a+a-1.因此f2a-2等价于ln a+a-10.令g(a)=ln a+a-1,则g(a)在区间(0,+)单调递增,g(1)=0.于是,当0a1时,g(a)1时,g(a)0.因此,a的取值范围是(0,1).3.已知函数f(x)=ax+xln x的图象在x=e(e为自然对数的底数)处的切线的斜率为3.(1)求实数a的值;(2)若f(x)kx2对任意x0成立,求实数k的取值范围;(3)
3、当nm1(m,nN*)时,证明:.解(1)f(x)=ax+xln x,f(x)=a+ln x+1.又f(x)的图象在x=e处的切线的斜率为3,f(e)=3,即a+ln e+1=3,a=1.(2)由(1)知,f(x)=x+xln x,若f(x)kx2对任意x0成立,则k对任意x0成立.令g(x)=,则问题转化为求g(x)的最大值,g(x)=-.令g(x)=0,解得x=1.当0x0,g(x)在区间(0,1)内是增函数;当x1时,g(x)0),h(x)0,h(x)是区间(1,+)上的增函数.nm1,h(n)h(m),即,mnln n-nln nmnln m-mln m,即mnln n+mln mmn
4、ln m+nln n,ln nmn+ln mmln mmn+ln nn.整理,得ln(mnn)mln(nmm)n.(mnn)m(nmm)n,.4.已知函数f(x)=ln x-,其中aR.(1)当a=-1时,判断f(x)的单调性;(2)若g(x)=f(x)+ax在其定义域内为减函数,求实数a的取值范围;(3)当a=0时,函数f(x)的图象关于y=x对称得到函数h(x)的图象,若直线y=kx与曲线y=2x+没有公共点,求k的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+),且f(x)=,当0x1时,f(x)1时,f(x)0,f(x)在区间(0,1)上为减函数,在区间(1,+)上为增函数.(2)由
5、g(x)=f(x)+ax=ln x-+ax,可知函数g(x)的定义域为(0,+),g(x)=.g(x)在其定义域内为减函数,x(0,+),g(x)0.ax2+x+a0a(x2+1)-xaa.又=,-,当且仅当x=1时取等号.a-.(3)当a=0时,f(x)=ln x,h(x)=ex.直线l:y=kx与曲线y=2x+=2x+没有公共点,等价于关于x的方程(k-2)x=(*)在R上没有实数解,当k=2时,方程(*)可化为=0,其在R上没有实数解.当k2时,方程(*)可化为=xex.令g(x)=xex,则有g(x)=(1+x)ex.令g(x)=0,得x=-1,当x在区间(-,+)内变化时,g(x),
6、g(x)的变化情况如下表:x(-,-1)-1(-1,+)g(x)-0+g(x)-当x=-1时,g(x)min=-,同时当x趋于+时,g(x)趋于+,故g(x)的取值范围为.因此当时,方程(*)无实数解,解得k的取值范围是(2-e,2).综合,可知k的取值范围是(2-e,2.5.设函数f(x)=aln x,g(x)=x2.(1)记g(x)为g(x)的导函数,若不等式f(x)+2g(x)(a+3)x-g(x)在x1,e内有解,求实数a的取值范围;(2)若a=1,对任意的x1x20,不等式mg(x1)-g(x2)x1f(x1)-x2f(x2)恒成立.求m(mZ,m1)的值.解(1)不等式f(x)+2
7、g(x)(a+3)x-g(x),即aln x+2x(a+3)x-x2,化简,得a(x-ln x)x2-x.由x1,e知x-ln x0,因而a.设y=,则y=.当x(1,e)时,x-10,x+1-ln x0,y0在x1,e时成立.由不等式有解,可得aymin=-,即实数a的取值范围是.(2)当a=1时,f(x)=ln x.由mg(x1)-g(x2)x1f(x1)-x2f(x2)恒成立,得mg(x1)-x1f(x1)mg(x2)-x2f(x2)恒成立,设t(x)=x2-xln x(x0).由题意知x1x20,则当x(0,+)时函数t(x)单调递增,t(x)=mx-ln x-10恒成立,即m恒成立.
8、因此,记h(x)=,得h(x)=.函数在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+)内单调递减,函数h(x)在x=1处取得极大值,并且这个极大值就是函数h(x)的最大值.由此可得h(x)max=h(1)=1,故m1,结合已知条件mZ,m1,可得m=1.6.已知函数f(x)=ln x-.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)证明:当x1时,f(x)1,当x(1,x0)时,恒有f(x)k(x-1).(1)解f(x)=-x+1=,x(0,+).由f(x)0得解得0x.故f(x)的单调递增区间是.(2)证明令F(x)=f(x)-(x-1),x(0,+),则有F(x)=.当x(1,+)时,F(x)1时
9、,F(x)1时,f(x)1满足题意.当k1时,对于x1,有f(x)x-1k(x-1),则f(x)1满足题意.当k1时,令G(x)=f(x)-k(x-1),x(0,+),则有G(x)=-x+1-k=.由G(x)=0得,-x2+(1-k)x+1=0.解得x1=1.当x(1,x2)时,G(x)0,故G(x)在区间1,x2)内单调递增.从而当x(1,x2)时,G(x)G(1)=0,即f(x)k(x-1),综上,k的取值范围是(-,1).二、思维提升训练7.(20xx江苏,20)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a0,bR)有极值,且导函数f(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值
10、时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b23a;(3)若f(x),f(x)这两个函数的所有极值之和不小于-,求a的取值范围.解(1)由f(x)=x3+ax2+bx+1,得f(x)=3x2+2ax+b=3+b-.当x=-时,f(x)有极小值b-.因为f(x)的极值点是f(x)的零点,所以f=-+-+1=0,又a0,故b=+.因为f(x)有极值,故f(x)=0有实根,从而b-=(27-a3)0,即a3.当a=3时,f(x)0(x-1),故f(x)在R上是增函数,f(x)没有极值;当a3时,f(x)=0有两个相异的实根x1=,x2=.列表如下:x(-,x1)x1
11、(x1,x2)x2(x2,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值故f(x)的极值点是x1,x2.从而a3.因此b=+,定义域为(3,+).(2)证明:由(1)知,=+.设g(t)=+,则g(t)=-=.当t时,g(t)0,从而g(t)在区间内单调递增.因为a3,所以a3,故g(a)g(3)=,即.因此b23a.(3)由(1)知,f(x)的极值点是x1,x2,且x1+x2=-a,+=.从而f(x1)+f(x2)=+a+bx1+1+a+bx2+1=(3+2ax1+b)+(3+2ax2+b)+a(+)+b(x1+x2)+2=-+2=0.记f(x),f(x)所有极值之和为h(a),因为f(x)的极
12、值为b-=-a2+,所以h(a)=-a2+,a3.因为h(a)=-a-0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间-1,1上的最大值不小于.(1)解由f(x)=x3-ax-b,可得f(x)=3x2-a.下面分两种情况讨论:当a0时,有f(x)=3x2-a0恒成立.所以f(x)的单调递增区间为(-,+).当a0时,令f(x)=0,解得x=,或x=-.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-,-,+f(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为,.(2)证明因为f(x)存在极值点,所以由(1)知a0,且x00.由题意,得f(x0)=
