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1、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：,为常数,；2. 顶点式：,为常数,；3. 两根式：,是抛物线与轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便一般来说,有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大小值,一般选用顶点式；3. 已知抛物
2、线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称关于轴对称后,得到的解析式是；关于轴对称后,得到的解析式是； 2. 关于轴对称关于轴对称后,得到的解析式是；关于轴对称后,得到的解析式是； 3. 关于原点对称关于原点对称后,得到的解析式是；关于原点对称后,得到的解析式是； 4. 关于顶点对称即：抛物线绕顶点旋转180关于顶点对称后,得到的解析式是；关于顶点对称后,得到的解析式是 5. 关于点对称关于点对称后,得到的解析式是根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,
3、抛物线的形状一定不会发生变化,因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线或表达式已知的抛物线的顶点坐标与开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标与开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与轴交点情况：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数：当时,图象与轴交于两点,其中的是一元二次方程的两根这两点间的距离. 当时,图象与轴只有一个交点；当时,图象与轴没有交点.当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有；当时,图象落在轴的下方,无论为任何实
4、数,都有2. 抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为,；3.二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转化为一元二次方程；求二次函数的最大小值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；根据图象的位置判断二次函数中,的符号,或由二次函数中,的符号判断图象的位置,要数形结合；二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在_抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、
5、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.20#各区县一模-二次函数房山23. 如图,抛物线经过、两点,与轴的另一交点是1求抛物线的解析2若点在第一象限的抛物线上,求点关于直线的对称点的坐标；3在2的条件下,过点D作于点E,反比例函数的图象经过点E,点在此反比例函数图象上,求的值昌平23.如图,已知二次函数ax2bxa0的图象经过点A,点B1求二次函数的表达式； 2若反比例函数x0的图象与二次函数ax2bxa0的图象在第一象限内交于点,落在两个相邻的正整数之间,请你直接写出这
6、两个相邻的正整数；3若反比例函数x0,k0的图象与二次函数ax2bxa0的图象在第一象限内交于点,且,试#数k的取值范围昌平25. 无论取任何实数,对于直线都会经过一个固定的点,我们就称直线恒过定点.1无论取任何实数,抛物线恒过定点,直接写出定点的坐标；2已知的一个顶点是1中的定点,且,的角平分线分别是轴和直线,求边所在直线的表达式3求内切圆的半径.东城25.平面直角坐标系xOy中,直线分别与x轴,y轴交于过点A,B,点C是第一象限内的一点,且AB=AC,ABAC,抛物线经过A,C两点,与轴的另一交点为D.1求此抛物线的解析式； 2判断直线AB与CD的位置关系,并证明你的结论；3点M为x轴上一
7、动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在,求点N的坐标；若不存在,请说明理由.丰台23.已知二次函数与轴交于A1,0、B3,0两点；二次函数的顶点为P.请直接写出：b=_,c=_；当,#数的值;若直线与抛物线交于E,F两点,问线段EF的长度是否发生变化？如果不发生变化,请求出EF的长度；如果发生变化,请说明理由.丰台25. 在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A-2,0和点B,与y轴交于点C0,线段AC上有一动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度向点C移动,线段AB上有另一个动点Q从点B出发,以每秒2个单位长度的速度向点A移动,两动点同时出发
8、,设运动时间为t秒.1求该抛物线的解析式；2在整个运动过程中,是否存在某一时刻,使得以A,P,Q为顶点的三角形与AOC相似?如果存在,请求出对应的t的值;如果不存在,请说明理由.3在y轴上有两点M0,m和N0,m+1,若要使得AM+MN+NP的和最小,请直接写出相应的m、t的值以与AM+MN+NP的最小值.备用图西城23. 抛物线与轴交于点,与轴交于点,其中点的坐标为.1求抛物线对应的函数表达式；2将1中的抛物线沿对称轴向上平移,使其顶点落在线段上,记该抛物线为,求抛物线所对应的函数表达式；3将线段平移得到线段的对应点为,的对应点为使其经过2中所得抛物线的顶点,且与抛物线另有一个交点,求点到直
9、线的距离的取值范围.门头沟23.已知关于x的一元二次方程.图111求证：无论m取何实数时,原方程总有两个实数根；2若原方程的两个实数根一个大于3,另一个小于8,求m的取值范围；3抛物线与x轴交于点A、B点A在点B的左侧,现坐标系内有一矩形OCDE,如图11,点C0,-5,D6,-5,E6,0,当m取第2问中符合题意的最小整数时,将此抛物线上下平移个单位,使平移后的抛物线与矩形OCDE有两个交点,请结合图形写出h的取值或取值范围直接写出答案即可燕山23. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根1求的取值范围；2当取最小的整数时,求抛物线 的顶点坐标以与它与轴的交点坐标；3将中求得的抛物线在轴
10、下方的部分沿轴翻折到轴上方,图象的其余部分不变,得到一个新图象请你画出这个新图象,并求出新图象与直线有三个不同公共点时的值密云23. 已知抛物线1若求该抛物线与x轴的交点坐标；2若,证明抛物线与x轴有两个交点；3若且抛物线在区间上的最小值是-3,求b的值.平谷23如图,在平面直角坐标系中,直线与抛物线yax2bx3a0交于A、B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为5点P是直线AB下方的抛物线上的一动点不与点A、B重合,过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PDAB于点D1求抛物线的解析式；2设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值；连结PB,线段PC把PDB分成
11、两个三角形,是否存在适合的m的值,使这两个三角形的面积比为1:2若存在,直接写出m的值；若不存在,请说明理由顺义23已知抛物线与x轴交点为A、B点B在点A的右侧,与y轴交于点C1试用含m的代数式表示A、B两点的坐标；2当点B在原点的右侧,点C在原点的下方时,若是等腰三角形,求抛物线的解析式；3已知一次函数,点Pn,0是x轴上一个动点,在2的条件下,过点P作垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M,交抛物线于点N,若只有当时,点M位于点N的下方,求这个一次函数的解析式延庆23. 在平面直角坐标系中,抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A,点B4,n在这条抛物线上1求B点的坐标； 2将此抛物线的图
12、象向上平移个单位,求平移后的图象的解析式；3在2的条件下,将平移后的二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时,的取值范围.#23已知关于x的一元二次方程 .1如果该方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围； 2在1的条件下,当关于x的抛物线与x轴交点的横坐标都是整数,且时,求m的整数值#25如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,点B,点C是线段OA的中点 1点P是直线AB上的一个动点,当PC+PO的值最小时,画出符合要求的点P保留作图痕迹；求出点P的坐标与PC+PO的最小值；2当经过点O、C的抛物线y
13、=ax2+bx+c与直线AB只有一个公共点时,求a的值并指出这个公共点所在象限海淀23在平面直角坐标系中,二次函数的图象与轴正半轴交于A点1求证：该二次函数的图象与轴必有两个交点；2设该二次函数的图象与轴的两个交点中右侧的交点为点B,若,将直线AB向下平移2个单位得到直线l,求直线l的解析式；3在2的条件下,设M 为二次函数图象上的一个动点,当时,点M关于轴的对称点都在直线l的下方,求的取值范围通州23如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与一次函数的图象交于A、B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为. 点P是二次函数图象上A、B两点之间的一个动点不与点A、B重合,设点P的横坐标为m,过点P作
14、x轴的垂线交AB于点C,作PDAB于点D.1求b与sinACP的值；2用含m的代数式表示线段PD的长；3连接PB,线段PC把PDB分成两个三角形,是否存在适合的m值,使这两个三角形的面积之比为. 如果存在,直接写出m的值；如果不存在,请说明理由.通州25如图,在平面直角坐标系中,半圆的圆心点A在轴上,直径OB=8,点C是半圆上一点,二次函数的图象经过点A、B、C.动点P和点Q同时从点O出发,点P以每秒1个单位的速度从O点运动到点C,点Q以每秒两个单位的速度在OB上运动,当点P运动到点C时,点Q随之停止运动.点D是点C关于二次函数图象对称轴的对称点,顺次连接点D、P、Q,设点P的运动时间为t秒,DPQ的面积为y.1求二次函数的表达式；2当时,直接写出点P的坐标；3在点P和点Q运动的过程中,DPQ的面积存在最大值吗？如果存在,请求出此时的t值和DPQ面积的最大值；如果不存在,请说明理由.大兴23. 在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数的图象与x轴的正半轴交于A 、B两点点A在点B的左侧,与y轴交于点C .点A和点B间的距离为2, 若将二次函数的图象沿y轴向上平移3个单位时,则它恰好
