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1、实验报告三一、实验目的通过本实验的学习，各种插值法的效果，如多项式插值法，牛顿插值法，样条插值法，最小二乘法拟合(即拟合插值)，了解它们各自的优缺点及插值。二、实验题目1、插值效果比较实验题目：将区间-5,5 10等份，对下列函数分别计算插值节点M的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与 = /(*)的图形进行比较：1 %/W =-：= arctanx: f(x)= 1+X-L + X(1) 做拉格朗口插值；(2) 做三次样条插值。2、拟合多项式实验实验题目：给定数据点如下表所示:A-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5445-0.450.550.05-0.440.544.5
2、5分别对上述数据做三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数(X,.,)和拟合函数的图形。三、实验原理n阶拉格朗口插值设己知知如占及其=/U X，= 0,1,，),Ln(x)为不超过n次的多项式,且满足插值条件L(x)=必(i = 0,l由对如)的构造经验，可设心(x) = ZZ=。(应+k (功】+二(应， r=O其中，=- 均为n次多项式旦满足/,)= ( = i = 0,1,.不难验证，这样构造出的L(x)满足插值条件。因此问题归结为求L(x)(j = 0,1,)的表达式。因0是n次多项式L(x)的n个根，故可设L(x) = c(xf o) (x-LiL-知)-X”) = c
3、 nUxjgj-i再由/,(a) = c pj(x-xy) = 1,i = 0,1,n,得1c =.)g网故有 X X -九(力=/。凯,/,3= n (4.13)；=OXi Xj公式（4.13）称为n阶拉格朗口插值公式，其中匕（双，=。，1，）称为n阶拉格朗口插值的 基函数。”i+1与二土，其中，/鬲三次样条插值原理第一步：由儿=-m, Uj=i4, 九+妃】h. = x. -x，计算出时,0等辅助量。/第二步，用追赶法求解第三步:第四步:判断插值点所在区间: 用s=%)i + %ZA22A 1I h.Xf TI h.多项式的基函数一般取幕函数0O（X）= 1，0（X）= X，（、）=必由于
4、(外，。J = 疗*,(人 0) = x： y, 1=1(=1这样，法方程组为nn2=1n1=1 ni=lA i=lnw+1zxf=l(na1=1itf=lnitnank /=!w+1r=l2ni/=!7 m / /=! /计算插值。四、实验内容1、第一个方程程序x=.5:0.2:5;y=l./(l+x.*x);plot(x,y,T);hold onxl=-5:l:5;yl=l./(l+xl.*xl);xx=-4.5:0.5:4.5;yy=nialagr(xl ,yl ,xx);plot(xx,yy+)dy0=10J(l+25)*(l+25);dyn=40./(l+25)*(l+25);m=m
5、aspine(xl ,y .dyO,dyn,xx);plot(xx,m,ok)第二个方程程序x=.5:0.2:5;y=atan(x);plot(x,y,T);hold onxl=-5:l:5;yl=atan(xl);xx=-4.5:0.5:4.5;yy=nialagr(xl ,yl ,xx);plot(xx,yy+)dy0=l./(l+25);dyn=l./(l+25);m=maspine(xl ,y .dyO,dyn.xx);plot(xx,m,ok)第三个方程程序x=.5:0.2:5;y=x.*x./(l+x .八 4);plot(x,y,T);hold onxl=-5:l:5;yl=xl
6、.*xl./(l+xl.A4);xx=45:0.5:4.5;yynialagr(xl ,yl ,xx);plot(xx,yy3)dy0=40.*(l-5.A4)7(l+5.A4).A2;dyn=10.*(l-5.M)y(l+5.A4).A2;m=maspine(xl ,y .dyO,dyn.xx);plot(xx,m,ok)2、程序：x=-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5;尸445 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55;plot(x,y,or);hold on%三次多项式拟合pl=mafit(x,y,3);xl=-1.5:0.2:1.5;yl=pl(l)*xl.A3+pl(2)*xl.A2+pl(3)*xl+pl(4);%五次多项式拟合p2=mafit(x,y,5);xl=-1.5:0.2:1.5;y2=p2(l)*xl.A5+p2(2)*xl.A4+p2(3)*xl.A3+p2(4)*xl.A2+p2(5)*xl+p2(6);plot(xl,y2,g)五、实验结果1、第一个方程oo-0.5 I111111111-5-4-3-2-1012345第三个方程六、实验结果分析1、实验一表明三次样条插值比拉格朗口插值更准确。2. 在试验2中，对于拟合多项式实验表明三次多项式拟合与五次多项式拟合的效 果是差不多的。
