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1、线性代数参考题一一. 填空题（每小题3 分,满分30分）1.aaaa11121314aaaa21222324aaaa31323334aaaa41424344写出 4阶行列式b2中含因子ana23的项为2.行列式2a1aba + b12b1二0的充分必要条件为3. 设A为方阵，满足A2 - A - 2E = 0，则A-1 =。4. A,B,C同阶方阵，A丰0，若AB = AC,必有B = C,则A应为矩阵。5. 设A为n阶方阵，Ax二0有非零解，则A必有一个特征值为。22、（-1 6. 设 A =212相似于对角阵5，则a = 221丿 a丿7.设向量组A : a ,a是向量组T的一个最大无关组
2、，则A与T间关系为 1r&由a =（0,1,1）a = （1,0,1）,a = 6,1,0）所生成的线性空间为1239. 二次型 f 二-5x2 一 6y2 一 4z2 + 4xy + 4xz 的正定性为。10 110. 若 A = 2 2 3，且R（A）= 3，则 t =。13t 丿二. （8分）计算2n阶行列式aba0 bD2nab0ddcdc c三. （8分）解矩阵方程1 2 3、(21)1 3、2 2 1X=2 01 53丿丿 3 1丿求X = ?四. （10分）设向量组A： 、/、/、a =04,1,0 加=（2,1,1,3加=（1,0,3,1加=（0,2,6,3）1234求向量组A
3、的秩及一个最大无关组.五. 12分）讨论方程组的解的情况Xx+ x+x=1123 x +Xx+x=X123x + x + Xx = X2123六. （16分）求正交变换 X = PY ,将二次型f = 2 x 2 + 2 x 2 + 2 x 2 2 x x 2 x x 2 x x1231 21 32 3化为标准形,并写出其标准形.七. （8分）设卩二a ,卩=a +a，卩=a + a且a，,a线性无关,1 1 2 1 2 n 1 n 1 n 证明：卩J，B”线性无关.八. （8分）A为n阶方阵，且A与A +（ biE（i = 1,2,n 1）均不可逆.则 A 可否对角化?线性代数参考题二一、填
4、空题（每小题3分，满分30分）1.设 A, B 都是 5 阶矩阵，且 |A-| = 3,|B| = 2,则 | B |A | = 23.已知A2 + 2A + 21 = 0,则(A + I)1 =(其中I是n阶单位阵)x314,已知矩阵A的秩r(A)=2,则x=2 14.设 A = C Jij 4 x 412232210，又Aj是aj的代数余子式,则J A42 + A43+ A =445. 若一向量组只有唯一的极大无关组，则该向量组6. 设 f （X , x , x ） = 2 x2 + x2 + x2 + 2 x x + 2 tx x 是正定二次型,1231231 22 3a2 an一 b1
5、1 -2122=401-10-1_ 14 -X0271则t的取值区间为 （、7. 设A是n阶正交矩阵,| AI = 一 1，则4* = 8. 设-121 - 1 -xA 二-2x0相似于对角阵-1,则002210.已知向量组a = 1, 2,1-1,la = b, 0,t,20a = ! 1,2, 4, 1的3秩为2,则t =二.（8分）计算n阶行列式a 一 baa12naa - b aD 二n1 2 n9设非齐次线性方程组AX = b的两个解为勺，叫）A的秩为n -】，则 AX = b的一般解E.a1 三. （8分）求矩阵 X 满足5,5,11,- 3,-1, 2, 10四. （10 分）设
6、a= b,1,2,3,- 21 a二 110,a= k,3,1,5,1a 二（4,2,34 求向量组的秩及其一个极大无关组.五.（12分）问常数a, b各取何值时，方程组x+x+x+x1234x一x+2xV2（ 3 ）42x+3x+a+2x+4x13x+25x+3x+（a +8）x1234无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解.1,1,b + 3,5,六.（16分）求正交变换X = PY ,将二次型f lx ,x ,x ）= 2x2 + 2x2 + 2x2 一 2x x 一 2x x 一 2x x 化为 1231231 21 32 3化为标准形,并写出其标准形.七. （8分
7、）设向量a ,a ,a ,a线性无关，且12341123421234a=BB+BB , a=BBB+B3123441234证明向量组片，-“3邛4线性无关.八. （8分）A为n阶方阵，且A与A + （一 订（i - 1,2，,n 一 1）均不可逆。试讨论A是否相似于对角阵,并说明理由.线性代数参考题三一. 填空题(每小题3分，满分30分)1.设A, B都是n阶方阵，且I A|二2,|B = 3则0 AB 02. 设A是m X n矩阵，At是A的转置矩阵，且At的行向量组线性无关.则秩(A)=a+xa1112a+xa3. f （x ）=2122a+xa3132a+xa4142是次多项式.+xa+
8、xa+x1314+xa+xa+x2324+xa+xa+x3334+xa+xa+x4344x31x + 2y4z 2y02=1,则302z211214.若5. n阶数量矩阵aI的相似矩阵是6若A是实对称矩阵，则属于A的不同特征值的特征向量一定7.向量组a ,a ,a ,a线性1231关.&设九二2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵f丄A2Y1有一个特征值等于13丿9设A是m x n矩阵，秩（A） = r ,则齐次线性方程组AX= 0有非零解的充分必要条件是10.设A是n阶正定矩阵，则方程组AX = 0的解的集合是二. 计算题（每题8分，共40分）1. 计算 n 阶行列式12设 A =2300,求（
9、A丄，其中A/为A的伴随矩阵56123n1n1100002200000 n11n3. 用初等变换法求下列矩阵的逆1aa201a0014.设R 3中的两组基为：B =匕1, oI1 P = 11, 0, 011求基B到基B的过渡矩阵A21_. , 15已知 AA =0,a , a , B =232a =10,1,P2=E, 1,2求 IA ia 3a 2a1$ , P , P 其中11, a = 11,0,01,P33 =11, 1,31111三. （10分）求下列向量组的秩和一个极大线性无关组.并说明该向量组是线性相关还是线 性无关.a 二【2,4,6,013a = b,2,3,01 a 二-
10、1,-2,0,31 a 二 11,-2,-1,01 a 二 to,0,l,l 45四. （6 分）判断下面二次型是否正定二次型f （x , x , x ） = x2 + 2x2 + 3x2 一 2x x 一 2x x1231231 22 3五. （14分）求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵，并且给出P-1AP线性代数参考题四一、填空题（每小题3分，满分30分）11. 设a ,a ,a , P , P 都是4维列向量，且4阶行列式|aa a卩| = m,|aa卩a | = n,1231歹、12112 2 3则4阶行列式a a a（P + P j =3211212. 已知a ,a ,a线性相关
11、,a不能由a ,a线性表示则a ,a线性1233121213. 设A是m x n阶矩阵,B是n x s阶矩阵,RVA）= r ,且AB = 0，则R辽丿的取值范围是1 0 2、4.设A是4x 3矩阵，且A的秩R（A）= 2且B =02 0则R（AB）=-1 0 3 丿1 0 1、5设0是矩阵A = 0 2 0的特征值，则a =J 0 a丿6.设f （x , x , x ） = x2 + kx 2 + k2x2 + 2x x是正定二次型，则的取值区间12312312为(104 7矩阵A =02一 1对应的二次型是_14一13丿8. 设r 52- 3r 1A 二4x 一 4相似于对角阵2，则x二164- 4 JI 3丿1r 1 )-19设A为3阶方阵
