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1、练习12波的传播规律#波的形成机理 12. 1 波动曲线12. 2图示为t = 0时的波动曲线,u = 2cm/s，试指出：(1) 此曲线的物理意义。(2) 波源一定要在点0吗？波形的实线与虚线部分各表示什么？(3) 点0的初相位及波峰、波谷对应的点 C,点的初相位各为多少？ A,入，T各为多少？(5) 用箭头指出0 , B, C, D, E, F,G, H各点的运动趋势，并说明你画箭头时是怎么考虑的。画出t = 2时的波动曲线。若u的方向相反,即波沿x轴负方向传播,再回答(3) , ( 5) , ( 6)。分析与解答(1) 波动曲线表示的是波在传播过程中某时刻t介质元离开平衡位置的位移情况，
2、相当于在该时刻所拍摄的一幅照片。(2) 波源不一定要在0点。根据惠更斯原理，波线上介质中任一点均可看作是一个子波 波源。(3) O点的振动状态是过平衡位置，向 丫轴负方向运动，其初项 如=冗/2波峰C点在正的 最大位移处，其初项位 c=0波谷G点在负的最大位移处，其初项位 Og= n(4) 振幅 A=5cm, 波长 启4cm； 周期 T=1/v=入 / u=4/2=2s圆频率 3 =2 n / T= n rad/s(5) 判断某一点运动趋势的方法是：它前一点现时的位置，就是它下一时刻的位置。故0,B，H，I向下运动；D、E、F向上运动；C，G瞬间静止，随后C向下，G向上运动。(6) 由于周期T
3、=2s，因此t=2s时的波动曲线应为t=0时的波形曲线向右传播一个波长后的形状，即曲线右移入；同理，t=2s时的波形曲线应为t=0时的波动向左传播一个波长后的形状，即曲线左移九(7) 在(3)中如变为-n /2氐，帕不变。在(5)中各质元的运动方向：0, B，H, I向上运动，D，E，F向下，C仍向下，G仍向上；在(6)中，t=2s时，波形左移，t=-2s 时，波形右移。12. 3求解：(1)已知x = 0处质元的振动曲线如P156图12.2所示,若它以u = 20cm/ s的速度在介质 中传播，试画出t=3s时的波动曲线。题12.3医 已知t =0时的波动曲线如图（题12.2）所示。试画出0
4、, E, G各点的振动曲线。 已知波函数y = 2cos（2二t -hx）。试画出x = 0和x = %4两点的振动曲线分析与解答振动曲线是振子位移y与时间t的关系曲线，即y-t曲线。波动曲线是某一时 刻t，波线上介质中各质点元位移y随x的分布曲线。（1） 从振动曲线可知：振幅 A = 5 cm,周期T = 2 s, t = 0时，yo = 0,、2 -且v0 0，得O点初相位 1二-，圆频率rad / s振源（x=0）的振动方程为y0=5cos（qm2由于该波以u=20 cm/s沿x轴正方向传播，波长卑=ut =40cm，则波动方程为y=5cos（X dm20 2将t=3代入波动方程得 y二
5、5cos（-X）cm,2 20波形曲线如图（b）所示。（2） 由题12.2图所示的波形曲线可知，O点过平衡位置，向y轴负方向运动，振动方程为y0 =5 costcm2E点过平衡位置，向y正方向运动，振动方程为yE =5cos（二t） cm2G点在负最大位移处，振动方程为 yG =5cos（二t -二）cm各点的振动曲线如图（C）所示。（2）将y =2cos（2二t px） m改写为y =2cos2二（t-与并与波函数的标准形式2X.y 二 Acos，（t ）0对比，u得 A=2m;0=0； 3=2nrad/s； u=2 m/s； =2：u/ = 2m当x=0时，该点的振动方程为y二2cos2二
6、t mi兀x= 14 处的振动方程为 y -2cos2 二(t ) = 2cos(2 二 t )i82则该两点的振动曲线如图(d),( e)所示。波动方程12.4 一平面谐波的表达式为y = Acos w (t-x/u) +崗,试说明：(1)式中x/u表示什么？;：0表示什么？(3) x/ u表示什么？(4) 乂表示什么？它等于波速u吗？题12.4 (6) 若把方程写成y = Acos 2 n/T-x/ 1),可否？(6)波动方程中的(-x/u),其负号表示什么？能否是正号？今已知一平面谐波沿x轴负方向传 播,如图所示,已知M点的振动规律为y = Acos( wt + :0)试写出点N的运动方
7、程。分析与解答(1) x/u表示波从坐标原点(x=0)传到任意一点(x=x)所需的时间。(2) ;：0表示坐标原点(x=0)处质点振动的初相位。(3) wx/ u表示波线上任一点处质元比原点处质元落后的相位，或相距x距离的两元间的相 位差。(4) 空表示波动某一质元的振动速度，它不等于波速u, 般来说是时间的函数并且与act质元位置x有关，而波速u只与介质有关。(5) 该式只是在初相位；0 =0时的特殊情况下成立，一般应写为y =Acos2 n (t/T x/1 )+ (6) (-x/u)中的负号表示相位落后，而(+x/u)中的正号则表示相位超前。已知：M点的振动规律为yM =A cos( w
8、 t+0)且该波沿x轴负方向传播，可知图中N点的相位较M点超前，贝U N点的运动方程(即波动方程)应为y =A cos W +(x-1)/u+1tr12.5 已知波动方程 y =5cos2 二(一 -)cm1230试求：w, T，v，u，1 A和波数k各为多少？并写出r=15cm处质点的运动方程。t X分析与解答与波动方程一般形式y二Acos2:() -0相比较可得：周期T=12s;圆频T 九2 JT JT率炳 =丄=二rad /s ; 波长 入=30crp 振幅 A=5cmT 6波速 u 30 =2.5cm/s；波数 k-T 12九 3015振动速度 v = - - sin( t -) cm
9、/sct6615r=15cm 处质元的方程为： y15 =5cosf t -二)cm612.6已知平面谐波A = 5cm , v 100Hz,波速u = 400m/ s,沿x正方向传播，以位于坐标原点O的质元过平衡位置向正方向运动时为时间起点，试求：(1) 点O的运动方程；(2) 波动方程；(3) t = 1s时，距原点100cm处质元的相位分析与解答(1) 要建立O点的运动方程，关键在于找三个特征量。由题设条件可知，圆频率 -2二-200二rad/so振幅A=5cm ; t=0时，坐标原点O处质点过平衡位置，且向正 方向运动，贝U O点的初相位(或)，于是2 2O点的运动方程为y。=0.05
10、 cos2 0 m )2(2) 波沿x轴的正方向传播。波线上任一点质元的相位较O点质元落后丄，则波动方程为uXXy 二 Acos，(t )：0 = 0.05cos200 二(t )u4002=0.05cos(200 二t -宁ji)m2将t=1s，x=100cm=1m代入波动方程，得t=1s时，距原点100cm处质点的相位为199 n(若取二，则该点相位为201 n212. 7 一列平面谐波沿x轴正向传播，振幅A = 0.1m,频率 v 10Hz,当t = 1.0 s时，x = 0.1m 处的质点a的状态为ya=0，va： 0 ； x = 0.2m处的质点b的状态为yb = 0.05 m，vb
11、0。试求这列波的波动方程。分析与解答由波动方程可知，这列波的方程为9?. x9?. xy=Acos(2二 ft) = 0.1cos(20 二t0) Z扎在 t=1.0s 时，对于 a 点(x=0.1m) 有则0，由于Va 0 ,应取k 20.2 二 二同理，对于b点有 0 -2(p 0.40 _JI由式，可得代入式，则波动方程为入=0.24m 0 =3y =0.1cos(20 二 t -0.24312. 8 一列平面简谐波,频率v500Hz ,波速u=350m/ s。试求: (1)相位差亍的两点间相距多远?(2) 在某点,时间间隔览=10s的两个振动状态的相位差为多少？分析与解答(1)由相位差
12、和波程差的关系二三(X2-X.)JI则 X2 7 =八 33512m2兀 2兀v 2兀 500按题设条件可知，周期为 T=1/v=1/500=2 X0-3s则某点经历 t -10 = T的两个位移的相位差为厶：=-rad =180、2或由两个方程求解： 关于波的能量特征12.9选择题：(1) 一列机械横波在t时刻的波形曲线如图 所示，贝U该时刻能量为最大值的介质质元的位置 是:()A. o , b, d, f ; B. a, c, e, g;题 12.9 (2)C. o , d; D. b, f。(2)图示为一平面简谐波在t时刻的波形曲 线，若此时A点处介质质元的振动动能在增大 则可知：()A
13、. C点处质元的弹性势能在增大；B. A点处质元的弹性势能在减小；C. B点处质元的振动动能在增大；D. 波沿x轴正方向传播。分析与解答(1)( B)(2) A点的振动动能在增大，表明 A点正向平衡位置运动，表明沿-X方向传播，因此，C 点也向平衡位置运动，弹性势能和动能均增大，故答案( A)是正确的。12. 10频率为v 500Hz,波速为u =340m/s的声波(平面简谐波),在空气(=1.3kg/ m 3)中传播，到达人耳时，振幅约为A= 1.0 X06 m。试求声波在人耳中的平均能量密度和声强。分析与解答声波在人耳中的平均能量密度为w = (1/2) PA2 圧=2 n PA2 V =
14、6.42 n 10-6 J/m2其能量密度即为声强，即I= wu =2.18 10； w/m2波的干涉12. 11如图所示，两相干波源S 1 , S 2 ,频率均为100Hz ,振幅均为5cm,波速均为u = 10m/ s , 振动方向均垂直纸面。试求下列情况下，S 1 , S2连线的中垂线上点P的运动方程，并说明点P是加强还是减弱(1) S 1 , S 2的相位差为0；(2) S 1 , S 2的相位差为n /2(3) S 1 , S 2的相位差为n分析与解答r设由S1所发的波动方程为力=5cos200二(t - 1 ) i10S2所发出的波动方程为y2 =5cos200二(t -益) ：2其中n和r2分别为P点到0和的距离，710cm15cm10cm故两列波在P点的相位差为 .厂二笃- (r r)1由题意可知a=18cm，所以厶=2 - ;：1(1)当门=0时，两波叠加后干涉加强，合振幅合振动方程为y =1 0 cos 2 0t0卫(=)1 0-cots 2 0o0n (uJTJC时，合振动既不加强，也不减弱，此时设 1=0，则2二一221.8)合振幅. 52 52 = 7.07 cm初相位；
