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1、高考数学精品复习资料 2019.51过点P(2,0)的直线与抛物线C：y24x相交于A、B两点，且|PA|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为()A. B.C. D2答案A解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，分别过点A、B作直线x2的垂线，垂足分别为点D、E.|PA|AB|，又得x1，则点A到抛物线C的焦点的距离为1.2设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B.C. D.答案D解析由已知得F，故直线AB的方程为ytan30，即yx.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立将代入并整理得x2x0，x1x2，线段
2、|AB|x1x2p12.又原点(0,0)到直线AB的距离为d.SOAB|AB|d12.3.已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A. B.C. D.答案D解析由题意可知准线方程x2，p4，抛物线方程为y28x.由已知易得过点A与抛物线y28x相切的直线斜率存在，设为k，且k0，则可得切线方程为y3k(x2)联立方程消去x得ky28y2416k0.(*)由相切得644k(2416k)0，解得k或k2(舍去)，代入(*)解得y8，把y8代入y28x，得x8，即切点B的坐标为(8,8)，又焦点F为(2,0)，故直
3、线BF的斜率为.4已知F为抛物线y2x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A2 B3C. D.答案B解析设AB所在直线方程为xmyt.由消去x，得y2myt0.设A(y，y1)，B(y，y2)(不妨令y10，y2b0)过点(0，)，且离心率e.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l：xmy1(mR)交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由解解法一：(1)由已知得，解得所以椭圆E的方程为1.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为H(x0，y0)由得(m22)y22my30，
4、所以y1y2，y1y2，从而y0.所以|GH|22y2y(m21)ymy0.(1m2)(yy1y2)，故|GH|2my0(1m2)y1y20，所以|GH|.故点G在以AB为直径的圆外解法二：(1)同解法一(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，.由得(m22)y22my30，所以y1y2，y1y2，从而y1y2y1y2(m21)y1y2m(y1y2)0，所以cos，0.又，不共线，所以AGB为锐角故点G在以AB为直径的圆外9已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两
5、点，当OPQ的面积最大时，求l的方程解(1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d，所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设 t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以，当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.10圆x2y24的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时
6、，切点为P(如图)双曲线C1：1过点P且离心率为.(1)求C1的方程；(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程解(1)设切点坐标为(x0，y0)(x00，y00)，则切线斜率为，切线方程为yy0(xx0)，即x0xy0y4.此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S.由xy42x0y0，知当且仅当x0y0时x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为(，)由题意知解得a21，b22，故C1的方程为x21.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(，0)，(，0)，由此设C2的方程为1，其中b10.由P(，
7、)在C2上，得1，解得b3.因此C2的方程为1.显然，l不是直线y0.设l的方程为xmy，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(m22)y22my30，又y1，y2是方程的根，因此由x1my1，x2my2，得因为(x1，y1)，(x2，y2)由题意知0，所以x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)40.将，代入式整理，得2m22m4110，解得m1或m1.因此直线l的方程为xy0或xy0.11如图，已知两条抛物线E1：y22p1x(p10)和E2：y22p2x(p20)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点(1)证明：A1B1A2B2；(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点记A1B1C1与A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值解(1)证明：设直线l1，l2的方程分别为yk1x，yk2x(k1，k20)，则由得A1，由得A2.同理可得B1，B2.所以2p1.2p2.故，所以A1B1A2B2.(2)由(1)知A1B1A2B2，同理可得B1C1B2C2，C1A1C2A2.所以A1B1C1A2B2C2.因此2.又由(1)中的知.故.
