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1、韦达定理及其应用【内容综述】设一元二次方程有二实数根，那么， 。这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。【要点讲解】1求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。例1 假设a，b为实数，且，求的值。思路 留意a，b为方程的二实根；隐含。解 1当a=b时，；2当时，由及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得， ab=1.说明 此题易漏解a=b的状况。根的对称多项式，等都可以用方程的系
2、数表达出来。一般地，设，为方程的二根，那么有递推关系。其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。附加：此题还有一种最根本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。例2 假设，且，试求代数式的值。思路 此例可用上例中说明局部的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。解：因为，由根的定义知m，n为方程的二不等实根，再由韦达定理，得，2构造一元二次方程假如我们知道问题中某两个字母的和与积，那么可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。例3 设一元二次方程的二实根为和。1试求以和为根的一元二次方程；2假设以和为根的一元二次方程仍为。求全部这样的一元二次方程。解 1由韦达定理知
3、，。，。所以，所求方程为。2由条件可得 解之可得由得，分别探讨p,q=(0,0)，(1,0)，(,0)，(0,1)，(2,1)，(,1)或(0, )。于是，得以下七个方程，其中无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。3证明等式或不等式依据韦达定理或逆定理及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。 例4 a，b，c为实数，且满意条件：，求证a=b。证明 由得，。依据韦达定理的逆定理知，以a，b为根的关于x的实系数一元二次方程为由a，b为实数知此方程有实根。，故c=0，从而。这说明有两个相等实根，即有a=b。说明 由“不等导出相等是一种独特的解题技巧。另外在求得c=0后，由恒等式可得，即a=b。此方法较
4、第一种烦琐，且需肯定的跳动性思维。4探讨方程根的状况将韦达定理和判别式定理相结合，可以探讨二次方程根的符号、区间分布、整数性等。关于方程 的实根符号判定有下述定理：方程有二正根，ab0；方程有二负根，ab0，ac0；方程有异号二根，ac0；方程两根均为“0，b=c=0，；例5 设一元二次方程的根分别满意以下条件，试求实数a的范围。二根均大于1；一根大于1，另一根小于1。思路 设方程二根分别为，那么二根均大于1等价于和同时为正；一根大于1，另一根小于是等价于和异号。解 设此方程的二根为，那么，。方程二根均大于1的条件为解之得方程二根中一个大于1，另一个小于1的条件为解之得。说明 此例属于二次方程
5、实根的分布问题，留意命题转换的等价性；解题过程中涉及二次不等式的解法，请参照后继相关内容。此例假设用二次函数学问求解，那么解题过程极为简便。5求参数的值与解方程韦达定理及其逆定理在确定参数取值及解方程组中也有着很多奇妙的应用。例6 解方程。解：原方程可变形为。令，。那么, 。由韦达定理逆定理知，以a，为根的一元二次方程是。解得，。即a=或a=9。或通过求解x结果一样，且严谨。，舍去。解之得，。此种方法应检验：是或否成立强化训练A 级1.假设k为正整数，且方程有两个不等的正整数根，那么k的值为_。， ，那么_。3 .和是方程的二实根，那么_。m为整数有两个不等的正整数根，求m的值。级 5.：和为方程及方程的实根，其中n为正奇数，且。求证：，是方程的实根。6.关于x的方程的二实根和满意，试求k的值。参考答案12提示：原方程即，所以，由知k=1，2，3，5，11；由知k=2，3，4，7。所以k=2，3，但k=3时原方程有二相等正整数根，不合题意。故k=2。2提示：由x，y为方程的二根，知，。于。321提示：由，知，4设二个不等的正整数根为，由韦达定理，有消去m，得。即。那么且。，。故。5由韦达定理有，。又，。二式相减得。，。将代入有。从而 ，同理 和是方程的根。6当时，可知，所以，当时，易证得。从而，为方程的二不同实根。，。于是，。当时，方程为。解得 或取，即能符合题意，故k的值为。
