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1、 函数 (理科) 一、 考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫 复习函数
2、的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化具体要求是： 1正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性 2从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法 3培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解 yfx)在给
3、定区间上的单调性，反函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论函数(映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制 fxfxfxfx)()()和这两个等式对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在(xfxfxfxfx)的实质是：函数的()上，要明确对定义域内任意一个，都有()(，)fx)(定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件稍加推广，可得函数的图象关xaxfxafax)成立函数的奇于直线对称的充要条件是对定义域内的任意，都有()(偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映 - 1 - 这部分的难点是函
4、数的单调性和奇偶性的综合运用根据已知条件，调动相关知识，选 择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求 函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。复习函 数图像要注意以下方面。 1掌握描绘函数图象的两种基本方法描点法和图象变换法 2会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题 3用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题 4掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变
5、换法，掌握这两种方 法是本节的重点运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用这图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换 也是个难点xa )的单调区间(例1设(00，求函数)ax?x?ln(f(x)? )及。(分析：欲求函数的单调区间，则须解不等式递减(递增)0f?(fx(x)?0)11?(x?f0(x)?)解： x?ax2ax0时0，当 22axxafx0(2， ?(4)0
6、? 22axaxfx04)(0)?(2 ?ax 0，有 1时，对所有()当 22aaxx0，(2 4)fxfx)在(0，)0，此时内单调递增(即 ?( ax1时，对，有)当 1(22axax04)，(2 fxfx)在(0，1)内单调递增，在(1，)内单调递增 ，此时即 ?()0fxxfx)在(0，)内单调递增又知函数(在)处连续，因此，函数1 (afx)0(时，令当()01 ?，即 - 2 - 22aaxx 0，(24)a?2?a?2x?21?a?21?ax ，或解得xf内也)因此，函数内单调递增，在区间(在区间，a2?a?2）(10，?(a2?21?a）? 单调递增2 2afxxxa ?(
7、0)0，即4)，(2令 a21?x?2?a?2?a?21?a? ：解得 xf在区间)因此，函数内单调递减( ，1?a）?a2?a?2(2?a?21点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力 1?ax2。设，记曲线例2 已知，函数在点?,?)x0,x?(0(fx)xf(y?0?a 1xa 处的切线为。)(x,M(xfl11()求的方程； l()设与轴交点为。证明： )0,(xxl21； ?0?x 2a11，则 若?x?xx 211aa()分析：欲求切线的方程，则须求出它的斜率，根据切线斜率的几何意义便不难发现，lM(x,f(x)的一阶导数值。 问题归结为求曲
8、线在点)(xy?f111，由此得切线的导数：解：求的方程： ?f?(x)(xfl 2x1?ax11)?(xy?(?x)。 12xx1xxx变化的根本原因的变化范围，则须找到使()分析：要求产生变化的原因，显然，222xxxxx的大小关系，与的等量关系式，就成； 可归结为欲比较的变化，因此，找到与11122判断它们的差的符号即可。 y0，证：依题意，切线方程中令 2?x，其中0?x(2?ax)?xx?(1?ax)x?. 1111211a2112? 由)0?x?x?,x有?x,x?(2ax),?0及x?a(? 1211212aaa111?当且仅当?x?0,x时，?x. 221aaa- 3 - 11
9、 ?x(2?ax)，且由，?xx?当时，x?ax?1，因此，x2112111aa1 。?x?x所以21a点评：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析 和解决问题的能力。1y( ) 1例3、 函数的图象是1?x 11yfx的图形变(图象以及对坐标平移公式的理解，将函数)解析一：该题考查对xx11xyy轴翻转，再变形到，即向右平移一个单位，再变形到即将前面图形沿1x?x?11By. ，从而得到答案1形到1?xByxyx. 0.1，取因此选2，此时解析二：可利用特殊值法，取0，此时B 答案： 1、选择题要注意利用特值排除法、估值排除法等。点评：先判断出函数的标准模型，
10、、处理函数图像的平移变换及伸缩变化等问题的一般方法为：2 并用换元法将问题复合、化归为所确定的标准模型。 考点二：二次函数作为最基本. 二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、这方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 同时，有关二些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 因. 现代数学发展紧密联系，次函数的内容又与近、是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 此，从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为
11、奇了从解析式出发，可学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征. 以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像 特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.- 4 - ?2足根满的两，方程例 设二次函数个0?xf?x0?xa?axbx?fcxx,211?时，证明. . 当x0?,x?xx?0?121a?两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数分析：在已知方程0xx?f?的表达式，从而得到函数的表达式. xxf?)xf(证明：由题意可知. )?xx)(xx?a(x?f(x)?211， ?xx?0?x 2
12、1a ， 0x)?x?x)(x?a(21?时， 当. x0x?,x?(x)f1又， )?1x)(ax?ax?x)?x?x(x?(f(x)?x?ax?x)(x212111x?x?0,且ax?ax?1?1?ax?0, 221 ， x)?f(x1综上可知，所给问题获证. ?。 点评：本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式.xx?y?axx?212?bx?1(a,b?R,a?0axf(x)?)，例5 已知二次函数设方程的两个实数根为x)?f(xxx. 和21x?xx?14x?2?x； 的对称轴为，设函数，求证：(1)如果)xf(0021 ?2x?xx?2，求如果，的取值范围. (2)b1
13、12x?2?x?4实际上给出了分析：条件的两个实数根所在的区间，因此可以考x?x)f(21虑利用上述图像特征去等价转化. 2xx1?1)?x?axx?(b)g(x)?f(x. 解：设和，则的二根为0?g(x)21g(2)?04a?2b?1?0?x?2?x?4，可得 ，即及(1)由，即 0?a?21g(4)?016a?4b?3?0?b3?3?3?0,? ?2a4a ?b3?4?2?0,? 2a4a?- 5 - b两式相加得; ，所以，1?x1? 0a24?1b222. ， 可得(2)由 ?)?(x?x)11?(b?1)?2a? 21aa1. 同号又，所以xx,0?x?x 2121a0?xx?2?
14、x0?x?2?1221 ， 等价于或2xx?2?x?112221b?1)?b?1)?12a?1(?2a1?(?0)?g(?g0(2)?2? 或 即0?g(0g(0)?0)?221?1)a?1?(b2?2a?1(b?1)?1?71. 或解之得 ?bb? 44点评：在处理一元二次方程根的问题时，考察该方程所对应的二次函数图像特征的充要 条件是解决问题的关键。 考点三：抽象函数抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具
15、体的解析表又.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质，达式作为载体，因此理解研究起来比较困难能考查学生的思维能力，所以备受命题者的青睐，那么，怎样求解抽象函数问题呢，我们可以利用特殊模型法，函数性质法，特殊化方法，联想类比转化法，等多种方法从多角度，多 层面去分析研究抽象函数问题， 函数性质法一()反应出来的，抽象函数)函数的特征是通过其性质(如奇偶性，单调性周期性，特殊点等也是如此，只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，抽象函数问题，利用单调性等价转化;3;2:1，利用奇偶性整体思考，常用的解题方法有才能转化，化难为易，. ，借助特殊点，布列方程等;5利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合 特殊化方法(二)xx 1、在求解函数解析式或研究函数性质时，一般用代换的方法，将等；换成 、在求函数值时
