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1、初中二次函数知识点总结_数学_初中教育_教育专区二次函数知识点 一、二次函数概念: 2a,01、二次函数的概念:一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数。abcyaxbxc,，a,0这里需要强调:和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零(二次函数的定义域是全体实bc数( 22、二次函数的结构特征: yaxbxc,，? 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2( xx? 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项( abcacb二、二次函数的基本形式 21、二次函数基本形式:的性质: a 的绝对值越大抛物线的开口越小。 yax,的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a
2、x,0x,0时，随的增大而增大;时，随xxyy00 ，轴 ya,0 向上 x,0的增大而减小;时，有最小值( 0yx,0x,0时，随的增大而减小;时，随xxyy00 ，轴 ya,0 向下 x,0的增大而增大;时，有最大值( 0y22、的性质: 上加下减。 yaxc,，的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 ax,0x,0时，随的增大而增大;时，随xxyy0c ，轴 ya,0 向上 x,0的增大而减小;时，有最小值( cyx,0x,0时，随的增大而减小;时，随xxyy0c ，轴 ya,0 向下 x,0的增大而增大;时，有最大值( cy2、3的性质:左加右减。 yaxh,，的符号 开口方向 顶点
3、坐标 对称轴 性质 axh,xh,时，随的增大而增大;时，随xxyyh0 ，a,0 向上 X=h xh,的增大而减小;时，有最小值( 0yxh,xh,时，随的增大而减小;时，随xxyyh0 ，a,0 向下 X=h xh,的增大而增大;时，有最大值( 0y24、的性质: yaxhk,，a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 xh,xh,时，随x的增大而增大;时，随yyhk ，a,0 向上 X=h xh,x的增大而减小;时，有最小值( kyxh,xh,x时，随的增大而减小;时，随yyhk ，a,0 向下 X=h xh,x的增大而增大;时，有最大值( ky三、二次函数图象的平移 1、平移步骤:
4、2hkyaxhk,，方法一:? 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标; ，2的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下: ? 保持抛物线hkyax,，向上(k0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位2、平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移;值正上移，负下移”。概括成八个字“左加右减，上加hk下减”。 方法二: 22?沿轴平移:向上(下)平移个单位，变成my,ax，bx，cy,ax，bx，cy22(或) y,ax，bx，c，my,ax，bx，c,m22?沿x轴平移:向左(右)平移个单位，变成my,ax，bx，
5、cy,ax，bx，c22(或) y,a(x，m)，b(x，m)，cy,a(x,m)，b(x,m)，c22四、二次函数与的比较 yaxbxc,，yaxhk,，22与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前从解析式上看，yaxbxc,，yaxhk,，222bacb4,bacb4,yax,，者，即，其中( hk,24aa24aa,2五、二次函数图象的画法 yaxbxc,，22五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、yaxbxc,，yaxhk,，()对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图。一般我们选取的五点为:顶点、与轴的y0c0c2hc，x0x0交点、以及关于
6、对称轴对称的点、与轴的交点，(若与轴没有交xx，12点，则取两组关于对称轴对称的点)。 画草图时应抓住以下几点:开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点。 xy2六、二次函数的性质 yaxbxc,，2,bbacb4,a,01、当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为。 ,x,24aa2a,bbb当时，随x的增大而减小;当时，随x的增大而增大;当时，有最小x,x,x,yyy2a2a2a24acb,值。 4a2,bbacb4,a,0,2、当时，抛物线开口向下，对称轴为x,，顶点坐标为。 ,24aa2a,bbbxx当x,时，随的增大而增大;当x,时，随的增大而减小;当x,时，有最大yyy2a
7、2a2a24acb,值。 4a七、二次函数解析式的表示方法 2a,0yaxbxc,，ac1、一般式:(，为常数，); b2a,02、顶点式:(，为常数，); yaxhk,，()ahka,03、两根式:(，是抛物线与轴两交点的横坐标)。 xxxyaxxxx,()()1212注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点。 x2即bac,40时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三种形式可以互化。 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1、二次项系数 a2a,0二次函数中，作为二次项系数，显然( yaxbxc,，a
8、a,0? 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大; aaa,0? 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大( aa总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小( aaa2、 一次项系数 b在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴。 aba,0? 在的前提下， bb,0当时，即抛物线的对称轴在轴左侧; y,02abbb,0b,0当时，即抛物线的对称轴就是轴; 当时，即抛物线对称轴在轴yy,0,02a2a的右侧( a,0? 在的前提下，结论刚好与上述相反，即 bb,0当时，即抛物线的对称轴在轴右侧; y,0
9、2abbb,0b,0当时，即抛物线的对称轴就是轴; 当时，即抛物线对称轴在轴yy,0,02a2a的左侧( 总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置( abbabab,0ab,0x,的符号的判定:对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左yy2a同右异”。 3、常数项 cc,0? 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正; xyyc,0? 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为; 0yyc,0? 当时，抛物线与轴的交点在x轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负。 yy总结起来，c决定了抛物线与轴交点的位置。 yabc总之，只要都确定，那么这
10、条抛物线就是唯一确定的。 二次函数解析式的确定: 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法。用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便(一般来说，有如下几种情况: 1、已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式; 2、已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式; x3、已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式; 4、已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式( 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1、关于轴对称 x22关于轴对称后，得到的解析式是; yaxbxc,，xyaxbxc,22
11、关于轴对称后，得到的解析式是; xyaxhk,，yaxhk,，2、关于轴对称 y22关于轴对称后，得到的解析式是; yaxbxc,，yaxbxc,，y22关于轴对称后，得到的解析式是; yaxhk,，yaxhk,，y，3、关于原点对称 22关于原点对称后，得到的解析式是; yaxbxc,，yaxbxc,，,22关于原点对称后，得到的解析式是; yaxhk,，yaxhk,，,，4、关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180?) 2b22关于顶点对称后，得到的解析式是; yaxbxc,，yaxbxc,，,2a22关于顶点对称后，得到的解析式是( yaxhk,，yaxhk,，5mn、关于点对称 ，22
12、mn关于点对称后，得到的解析式是 yaxhk,，yaxhmnk,，,，,22，a根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变(求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式。 十、二次函数与一元二次方程 1、二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况): x22axbxc，,0一元二次方程是二次函数当函数值y,0时的特殊情况。 yaxbxc,，图象与轴的交点个数: x2,bac40
13、AxBx，00? 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二xxx，()xx,，1212122bac,42次方程axbxca，,00的两根(这两点间的距离。 ABxx,，21a,0? 当时，图象与轴只有一个交点; x,0? 当时，图象与轴没有交点. xa,0y,01)当时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有; a,0y,02)当时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有。 2(0c)2、抛物线yaxbxc,，的图象与轴一定相交，交点坐标为，; y3、二次函数常用解题方法总结: x? 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程; ? 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次
14、函数由一般式转化为顶点式; 2yaxbxc,，acac? 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符bb号判断图象的位置，要数形结合; x? 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标; 2? 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函axbxca，,(0)xa,0数;下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系: ,0抛物线与轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 x ,0抛物线与轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 x ,0抛物线与轴无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. x 图像参考: 2y=3(x+4)22y=3xy=2x2y=3(x-2)22y=2xy=2(x-4)2y=x22y=2(x-4)-3xy=22+2y=2x2y=2x2y=2x-42xy= -2y=-2(x+3)22y=-2(x-3)2y=-2x2y= -x 2y=-2x十一、函数的应用 刹车距离,二次函数应用 何时获得最大利润,最
