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1、汽车基地 http:/ 主机厂与供应商的信息、服务、交流中心!第7章 2k因子設計的集區劃分與交絡Chap 7. Blocking and Confounding in the 2k Factorial Design7-1 簡介 (Introduction)有多種情況實驗者無法在均一的條件下進行2k因子實驗的所有試驗，如原料不足、或故意改變實驗條件，以確保處理於實際上可能遇到的狀況能一樣地有效(i.e., 即穩健的)。此種情況用到的設計技巧是集區劃分(Blocking)，本章集中於2k因子設計的一些特殊的集區劃分技巧。7-2 集區劃分一個反覆的2k因子設計(Blocking a Replica
2、ted 2k Factorial Design)假設2k因子設計反覆n次，此情況與第5章討論的完全相同，每一種不同的條件就是一個集區，而每個反覆就在集區內，在各個集區(或反覆)的試驗以隨機順序進行。*範例 7-115% (低)a = 10036+32+32B因子A因子1 lb(低)25% (高)2 lb(高)ab = 9031+30+29b = 6018+19+23(1) = 8028+25+27考慮在6-2節所描述一反應濃度(Reaction Concentration)和觸媒量(Catalyst)對化學反應過(製)程合格率效果的研究。假設單一批原料只容納4次試驗，所以，需要3批原料來進行3
3、次反覆，其中每一原料批對應到一個集區， 集區1集區2(1)=28a=36b=18ab=31集區3(1)=27a=32b=23ab=29(1)=25a=32b=19ab=30B1=113B2=106B3=111SSblock= Bi2/4 - y2/12 = 6.50由ANOVA分析，集區效果不顯著。*7-3 2k因子設計的交絡(Confounding in the 2k Factorial Design)許多情況是在一個集區裡進行一次完整的2k因子設計是不可能的。交絡(Confounding)是一個設計技巧，可安排一個完整的因子實驗到數個集區，其中集區的大小是小於一次反覆中處理組合的個數，此技
4、巧造成某些處理效果(通常指高階交互作用)的資訊成為無法區分於(In-distinguishable from)或交絡於(Confounded with)集區效果。本章集中於2k因子設計的交絡系統。7-4 2k因子設計交絡於2個集區(Confounding the 2k Factorial Design in Two Blocks)假設進行一個未反覆的2k因子設計，22= 4種處理組合均需要一些原料，而每一批原料只夠試驗2個處理組合，因此共需2批原料，倘將原料批視成集區，則須指訂4種處理組合中的2種到每一個集區裡。=集區1試驗A+B-+-=集區2試驗集區1集區2(1)abab(a) 幾何上視之(
5、b) 置於2集區裡的4個試驗圖7-1 2集區之2k因子設計上圖(a)顯示相對對角的處理組合被安置到不同的集區，圖(b)視出集區1包含處理組合(1)與ab、集區2包含處理組合a與b，當然，在集區裡處理組合的試驗順序是隨機決定的，且隨機決定集區順序。則A與B的主效果(與似無發生集區般)為，A = ab+a-b-(1)/2B = ab+b-a-(1)/2A與B均無受到集區劃分的影響，因為上式中各有來自每個集區的一個正的與一個負的處理組合，亦即，集區1與集區2之間的任何差異均被抵消矣。續考慮AB交互作用效果AB = ab+(1)-a-b/2因2個正號的處理組合ab與(1)在集區1裡、而2個負號的處理組
6、合a與b在集區2裡，集區效果與AB交互作用效果是完全相等的，亦即，AB是交絡於集區。此理由可從2k設計的正負符號表明顯視出，處理組合因子效果IABAB(1)+-+a+-b+-+-ab+這作法可用來交絡任何效果(A，B或AB)於集區。如(1)與b指訂到集區1及a與ab指訂到集區2，則A的主效果將被交絡於集區。一般是將最高階交互作用效果交絡於集區。上述作法可用來交絡任何2k設計於2個集區。建構集區的其他方法(Other Methods for Constructing the Blocks)此為利用線性組合，L = a1x1+ a2x2 + + akxk(7-1)其中xi是出現在處理組合中第i個因
7、子的水準，與ai是要被交絡的效果中第i個因子的冪次(Exponent)。對2k系統，ai = 0或1，及xi= 0 (低水準)或xi= 1 (高水準)。式(7-1)稱之為定義對比(Defining Contrast)，會產生相同L(Mod 2)的可能值只有0與1，如此指訂2k個處理組合正好到2個集區裡。茲考慮23設計而且交絡ABC於集區，在此x1對應A、x2對應B、x3對應C，與a1 = a2 = a3 =1，因此，對應於ABC的定義對比為，L = x1+ x2 + x3 因此處理組合(1)在(0,1)的符號表示下為000；所以，L = 1(0)+1(0)+1(0)= 0 = 0 (Mod 2
8、)同理，處理組合a為100；所以，L = 1(1)+1(0)+1(0)= 1 = 1 (Mod 2)故(1)與a將分屬不同的集區。對於其他的處理組合，b:L = 1(0)+1(1)+1(0)= 1= 1 (Mod 2)ab:L = 1(1)+1(1)+1(0)= 2 = 0 (Mod 2)c: L = 1(0)+1(0)+1(1)= 1= 1 (Mod 2)ac: L = 1(1)+1(0)+1(1)= 2 = 0 (Mod 2)bc: L = 1(0)+1(1)+1(1)= 2 = 0 (Mod 2)abc: L = 1(1)+1(1)+1(1)= 3 = 1 (Mod 2)所以，(1),
9、ab, ac, bc屬於集區1；a, b, c, abc屬於集區2，這與用正負符號表所產生的設計完全相同。另一種建構這些設計的方法，包含處理組合(1)的集區稱之為主集區(Principal Block)，在此集區裡的處理組合有一個很有用的群理論性質(Group-Theoretic Property)，即它們以乘法Mod 2的運算而形成之一”群”(Group)，此意謂著主集區內的任何元素除(1)外可由主集區內任2個元素(處理組合)相乘法的Mod 2得到，如ABC交絡之23設計在2個集區的主集區，ab ac = a2bc = bc；ab bc = ab2c = ac； ac bc = abc2 =
10、 ab因此主集區的元素為(1), ab, ac, bc。而另一集區，可由一個非主集區的元素(處理組合)乘以主集區的每一個元素Mod 2產生。其中，b是在另一集區裡，故另一集區的元素為，b (1) = b；b ab = ab2 = a；b ac = abc；b bc = b2 c = c其結果與先前得到的一致。誤差的估計(Estimation of Error)當因子數目很小時(2k，LevelFactor)，如k = 2或3，通常有必要反覆實驗以獲得一個誤差估計值。如23因子實驗必須以2個集區來進行且ABC被交絡，實驗者決定反覆設計4次，如下圖，集區1集區2(1)acabbcabcabc反覆1
11、集區1集區2(1)acabbcabcabc反覆2集區1集區2(1)acabbcabcabc反覆3集區1集區2(1)acabbcabcabc反覆4圖7-3 反覆4次ABC被交絡之23設計此設計總共32個觀測值和31個自由度，有8個集區即7個自由度，此7個自由度分解為FA= FB= FC= FAB= FBC= FAC= FABC= 1，而誤差平方為反覆與因子效果(A, B, C, AB, AC, BC)之二者交互作用。考慮視交互作用為零且將其均方作為誤差估計值的作法是成立的，此均方誤差可以檢定主效果與2-因子交互作用效果。ANOVA-反覆4次且交絡ABC之23設計 變源自由度反覆3集區(ABC)1
12、ABC的誤差(反覆集區)3A, B, C, AB, AC, BC各1誤差(反覆效果)18總和31倘實驗資源允許反覆的交絡設計，較佳方式是稍微以不同方式來設計各個反覆的集區，此方式包括在每個反覆中交絡不同的效果，使得所有的效果都能有一些資訊，此法稱之為部分交絡(Partial Confounding)。倘k 不算太小，即k 4，且只一次反覆時，實驗者常假設高階交互作用效果是可忽略的，並將其平和合併為誤差。範例7-2回顧再續範例6-2，一個化學產品於一壓力槽內生產，在實驗工廠進行因子實驗來研究產品的過濾比率(Filtration Rate)，4個因子為溫度(A)、壓力(B)、甲醛濃度(C)、與攪拌
13、速度(D)，各因子均有2水準，單次反覆。有興趣於極大化過濾比率。用此實驗來說明一個未反覆設計集區劃分與交絡的概念，假設24 = 16種處理組合無法利用一批原料進行所有的試驗，實驗者由一批原料可以試驗8個處理組合，所以一個24 交絡於2個集區的設計是適當的，且交絡最高階交互作用效果(ABCD)於集區。-+DABC集區1集區2(1)=25ab=45ac=40bc=60ad=80bd=25cd=55abcd=76a=71b=48c=68d=43abc=65bcd=70acd=86abd=1044*假設二批原料中有一批的品質低劣，造成所有的反應值均比用另一批原料所得值低20，即原始反應值減去20，低劣
14、品質原料是集區1與良好品質原料批為集區2。計算結果， 4個主效果、6個2-因子交互作用效果、4個3-因子交互作用效果的估計值均與無集區效果的例6-2所得之效果估計值完全相同。當劃出這些效果估計值的常態機率圖時，因子A、C、D與AC、AD交互作用為顯著重要效果。 ABCD交互作用效果的估計值原為1.375，但在此實驗其估計值為-18.625，因ABCD交絡於集區，ABCD交互作用效果的估計值是原1.375加上區集效果(-20)，即ABCD = 1.375+(-20)= -18.625。集區效果亦可由二個集區平均反應差得之，即集區效果 = =406/8 555/8 = -18.625所以，此效果真正估計= 集區 + ABCD
