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1、重积分和多重积分方法n维空间中去同样可以给出一列类似的结论在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的 类似于第三节，我们先定义一个R3中集合的可求体积性 读者自己推广这里将不再赘述引例设一个物体在空间 R3中占领了一个有界可求体积的区域V，它的点密度为f x,y,z，现在要求这个物体的质量假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域V分割为若干个可求体积的小区域 V1,V2,.,Vn，其体积分别是y, V2,，Vn，直径分别是d1,d2,.,dn , 即 di sup|WQ|W,Q Vi , （i=1,2,，n ） , |WQ| 表示 W, Q 两点的距离.设max d1,d2,.,dn，
2、则当 很小时，f x, y, z在V上的变化也很小.可以用这个小 区域上的任意一点 Xi, yi, Zi的密度f Xi, yi, Zi来近似整个小区域上的密度，这样我们可 以求得这个小的立体的质量近似为f Xj, yj,Zj Vi，所有这样的小的立体的质量之和即为这个物体的质量的一个近似值.即nM f Xi ,yi, Zi Vi i 1当 o时，这个和式的极限存在，就是物体的质量.即nMlim0f Xi, yi ,ZiVi 0 i 1从上面的讨论可以看出，整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的，都是先分割，再求和，最后取极限.所以我们也可以得到下面一类积分.二、三重积分的定义设f x,y,
3、z是空间R3中的一个有界可求体积的闭区域 V上的有界函数，将V任意分割 为若干个可求体积的小闭区域 VVz/. Vn，这个分割也称为 V的分划，记为P: V1,V2,.,Vn. Vio Vjo （空，i j）,其体积分别是 Vi, V2,., Vn，直径分别是di,d2,.,dn .设max di,d2,.,dn,或记为|P|.在每个小区域中任意取一点Xi,yi,Zi V，作和nf Xi, yi,Zi Vi （称为Riemann和），若当 0时，这个和式的极限存在，则称其极i 1限为函数f x, y,z在区域V上的三重积分，记为 f x, y, z dV .并称函数f x, y, z在V区域V
4、上可积.f x, y,z称为被积函数,x,y,z称为积分变量.,V称为积分区域.特别地，在直角坐标系下，可以记为f x, y, z dxdydz.V我们同样可以引入 Darboux大,小和来判别可积,也有同样的结论（略）.1若f x,y,z是有界闭区域 V上的连续函数，则函数f x,y,z在区域V上可积.2.若 f x, y,z =1 时， dxdydz V 的体积.V3.若f x, y,z在有界闭区域V上的间断点集合是 0体积时，f x, y,z在V可积.三重积分有着与二重积分类似的性质下面简单叙述一下.1.可积函数的和（或差）及积仍可积.和（差）的积分等于积分的和 （差）.2可积函数的函数
5、 k倍仍可积.其积分等于该函数积分的 k倍.3设 是可求体积的有界闭区域,f x,y,z在 上可积，分为两个无共同点的可求体积的闭区域 1,2之并，则x,y,z在 i,2上可积，并有f x, y,zdVf x, y, z dV1f x, y, z dV .2等等.三、三重积分的计算方法同二重积分一样我们这里给出三重积分的计算方法，理论上的证明读者自己完成1.利用直角坐标系计算三重积分 先给一个结论.定理12.14若函数f x, y,z是长方体 V=a,b x c,d x e,h上的可积，记 D=c,d x e,h,对任意x a,b,二重积分I(x)f x, y,z dydzDb存在，则 I (
6、x)dxaf x, y, z dydz dx (记为bdxa Df x, y,z dydz)也存在，且 f x, y, z dVVbdx f x, y, z dydza Db ddxa chdy f x, y,z dz.e这时右边称为三次积分或累次积分，即三重积分化为三次积分 证明 分别中a,b, c,d, e,h插入若干个分点ax0x1x2Xn b;c yo yiy2yme ZoZiZ2Zsh作平面 xXj, y yj,zZk,(i=0,1,2,，n; ,j i =0,1,2,m; k=0,1,2,，s,)得到 V 的一个分划 P.令 Vijk Xi 1,Xi yj1,yj Zk 1,Zk,
7、 (i=1,2，n; ,j i =1,2,-, m; k=1,2,s,), Mjk ,mOk分别是f x, y,z在v*上的上，下确界那么在Djk yj 1, yj Zk 1,Zk上有mjk yj Zkf ( i,y,z)dydz M 咏 yj ZkDjk其中Xi,= X - Xi-i, yj,= y j - y j -1 , zk,= zk -zk-i, (i=1,2,n; ,j i =1,2，,m; k=1,2,s,).f( i ,y,z)dydz f ( i, y,z)dydz 1( Jj，k DjkDnmijk Xi yjZkI ( i) Xi Mjk Xi yj Zki,j,ki 1
8、i,j,kh若函数f x, y, z在V上的可积，那么 f x, y, z dV dz f x, y, z dxdy.VeDz设函F面给出一般三重积分的具体计算方法，理论证明读者可参照二重积分自己完成.数f (x, y, z)在有界闭区域 上连.V = 矽J z图 12-4-2续，我们先讨论一种比较特殊的情况.xy,z|x,y D,Z| x, y z z x, y，其中Dxy为 在xoy平面上的投影，且Dxy x, y | a x b,ydx) y y2 x.如图1 2.我们现在z轴上做积分，暂时将 x, y看成是常数把函数f x,y,z看作是z的函数，将它在区间乙x,y ,Z2 x, y 上
9、积分得到z x,yf x, y, z dz.Zi x,y显然这个结果是x, y的函数，再把这个结果在平面区域Dxy上做二重积分Z2 x,yf x, y, z dz dxdy.Zi x,yDxyDxy可以用不等式在利用二重积分的计算公式便可以得到所要的结果若平面区域a x b, yi x yy? x 表示，则b y2 xZ2 x,yf x,y, z dV dx dy f x, y, z dz.yi xZi x,ya这个公式也将三重积分化为了三次积分.如果积分区域是其他的情形，可以用类似的方法计算.例1计算三重积分xdV，其中 是由三个坐标面和平面 x y z 1所围的立体区域.解 积分区域如图所
10、示，可以用不等式表示为0 x 1,0y 1x,0z1 x y ,1 M所以积分可以化为1/-b V + 11 1x1x yxxdVdx0 0dyJ 0xdzX1 1x/ 1dx0 0x 1x y dy1 丫11 ,2dx/-x 10 2x1A Jf图 12-4-31 41 31 21-x-xx834024四、三重积分的积分变换和二重积分的积分变换一样，有如下的结果：定理12.15 设V是uvw空间R3中的有界可求体积的闭区域，T: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w),z=z(u,v,w)，是V到xyz空间R3中的一一映射，它们有一阶连续偏导数，并且(x,y,z)(u,v,w)0, (
11、u, v, w) V (称为 Jacobi).u v z y _y y u v z z z z如果f(x,y,z)是T(V)上的可积函数，那么f (x, y,z)dxdydzT(V)Vf (x(u,v,w), y(u,v, w),z(u,v, w)_(x,y,z)dudvdw(u,v,w)在R3中有两种重要的变换柱面坐标和球面坐标1.利用柱面坐标计算三重积分前面我们可以看到，由于积分区域与被积函数的特点，二重积分可以用极坐标来计算.同样对于三重积分可以用柱面坐标和球面坐标计算我们先讨论用柱面坐标来计算三重积分.设空间中有一点 M x, y, z，其在坐标面xoy上的投影点M的极坐标为r,，这样
12、三个数乙r,就称为点M的柱面坐标(如图12-4-4). J?kX、yjf/A TX图 12-4-4y这里规定三个变量的变化围是0 r0注意到，当r 常数时，表示以z轴为中心轴的一个柱面.当=常数时，表示通过 z轴，与平面xoy的夹角为 的半平面.当z 常数时，表示平行于平面 xoy，与平面xoy距离为z的平面.空间的点的直角坐标与柱面坐标之间的关系,即是R3到R3的映射xr cosyr sin .z z(x, y,z)cosr sin0所以其崖 Jacobi 为 -sinr cos0r,(r, ,z)001故容易得到：如果f(x,y,z)是R3中的有界可求体积的闭区域V上的可积函数，则f x,
13、 y,z dV f r cos ,rsin ,zrdrd dz,VV其中，变换前后区域都用 V表示.我们也可以从几何直观的意义来描述这个公式的由来用三组坐标面r Ci, Ci,z C3将积分区域划分为若干个小区域，考虑其中有代表性的区域，如图12-4-5所示的区域可以看成是由底面圆半径为r和r dr两个圆柱面，极角为和 d的两个半平面，以及高度为z和z dz的两个平面所围成的.它可以近似的 看作一个柱体，其底面的面积为rdrd ，高为dz.所以其体积为柱面坐标下的体积元素，即dV rdrd dz.再利用两种坐标系之间的关系，可以得到f x,y,zdV f rcos ,rsin ,zrdrd dz.VV在柱面坐标下的三重积分的计算也是化为三次积分.例2计算三重积分x2 y2 dV，其中是由椭圆抛物面z 4 x2 y2和平面z 4所围成的区域.解如图所示，积分区域在坐标面xoy上的投影是一个圆心在原点的单位圆.所0 r 1,02 ,4r2z 4 .于是x2 y2 dVr 2rdrd dz21 24dr rdr2 dz004r221352d4r
