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1、专题一：锥曲线中的定点和定值问题知识分析一：b1、 直线过定点：一般定点在坐标轴上，可转化为 y =kx + b，则恒过定点(0, b)或(,0)、 k 。2般曲线过定点：把曲线方程转化为f (x, y) +九f (x, y) = 0 (九为参数)，解方程组f (x, y) = 0, f (x, y) = 01 2 1 2 即得定点。模型一：圆锥曲线中的顶点直角三角形的斜边所在直线过定点。x2 y 2例 已知椭圆一+二二1直线l: y二kx + m与椭圆交于A,B两点(A,B不是定点)，且以AB为直径的圆过椭圆43-的右顶点。求证：直线l: y = kx + m过定点，并求出该定点。变式1：已
2、知抛物线y2 = 2px(pA 0)异于顶点的两动点A,B满足以AB为直径的圆过顶点，求证：直线过定AB 点，并求出该定点。变式2：已知抛物线y2二4x，过点M(l, 2)作两直线l ,l分别与抛物线交A,B两点，且l ,l1 2 1 2的斜率满足kk二2，求证：直线过定AB点，并求出该定点。 l2模型二：圆锥曲线中，若过焦点的弦为ab,则焦点所在坐标轴上存在唯一定点N,使NA NB为定值。2 2 (2)例、已知椭圆C： + -= 1的右焦点为F (1,0),且点1, 在椭圆上。 a 2 b 2(2 丿(1) 求椭圆；(2) 已知动直线m过点F,且与椭圆交于A,B两点，问x轴上是否存在定点Q,
3、使得QA QB = -7恒成立?变式：已知双曲线x2 - y2二2的左右焦点为F, F，过点F的动直线与双曲线相交于A,B两点。在x轴上是否1 2 2存在定点n，使NA NB为常数？知识分析二：解决定值问题的方法，将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关。例3已知抛物线方程为y = -x2 + h，点A、B及点P(2, 4)都在抛物线上，直线PA与PB的倾斜2角互补。试证明直线 AB 的斜率为定值；分析：这类问题一般运算量大，要注意函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运 用。解析：证明：把P(2 , 4)代入y = _丄x2 + h，得h=6。所以抛物线方程为：
4、y - 4=k(x - 2),由2一 y - 4 二 k (x - 2)0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BClIx轴，证明：直线AC经过原点。图2k也是直线OA的斜率，所以AC经过原点0。当k不存在时，AB丄x轴，同理可证k二k。OC OAI EN 1=I AFI -1BCI=I NF I.图3I AD I -1BFIABI AB I点评：该题的解答既可采用常规的坐标法，借助代数推理进行，又可采用圆锥曲线的几何性质， 借助平面几何的方法进行推理。解题思路宽，而且几何方法较之解析法比较快捷便当，从审题与思维深度上看，几何法的采用，源于思维的深刻性。2、如图，在双曲线12 -13 = 1的上支上有三点A（X, yi）,B（x ,6 ），C（x , y ），它们与点F（0,5 ）的距离成等差数列. 233（i）求yi + y3的值；（2）证明：线段ac的垂直平分线经过 某一定点，并求此点坐标.3已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在X轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点， OA + OB 与 a = （3,-1）共线。（I）求椭圆的离心率；（口）设M为椭圆上任意一点，且OM =九OA +卩OB （九,R），证明k +卩2为定值.
