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1、2013年高考数学总复习 高效课时作业7-3 文 新人教版一、选择题1设l,m是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是()A若lm,m,则lB若l,lm,则mC若l,m,则lmD若l,m,则lm解析:当lm,m时,l可能在平面内,也可能平行平面或与平面相交故A不对;因为两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于该平面,故B正确;当l,m时,lm或l与m异面,故C不对;当l,m时,lm或l与m相交或l与m异面,故D不对答案:B2(2012年烟台二模)已知直线m、n、l不重合,平面、不重合,下列命题正确的是()A若m,n,m,n,则B若m,n,lm,ln,则lC若,m,n,则m
2、nD若m,mn,则n解析:由两平面平行的判定定理知,A不正确;由线面垂直的判定定理知B不正确;由平面垂直的性质定理知,C不正确,故选D.答案:D3直三棱柱ABCA1B1C1中,若BAC90,ABACAA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45 C60 D90解析:如图,可补成一个正方体,AC1BD1.BA1与AC1所成角的大小为A1BD1.又易知A1BD1为正三角形,A1BD160.BA1与AC1成60的角答案:C4如图,已知E、F分别为正四面体ABCD所在棱的中点,则异面直线AC与EF所成的角为()A30 B45C60 D90解析:如图,取BC中点G,连结EG,FG,则GE
3、F为异面直线AC与EF所成角,EGACBDGF,又可证ACBD,EGF90,则GEF45.答案:B5在正三棱柱ABCA1B1C1中,若ABBB1,则AB1与C1B所成角的大小为()A60 B90 C105 D75解析:法一:如右图,取BC的中点D,连结AD,B1D,由正三棱柱ABCA1B1C1知AD平面BB1C1C,ADBC1,又知BB1C1DBB1,B1C1BBB1D,因此B1DBC1,BC1平面ADB1,则BC1AB1.法二:如右图,取AB、BB1、B1C1、BC的中点D、E、F、G,连结DE、EF、DF、FG、DG,设AB1可求出DG,GF,可证明FG平面ABC,在RtDGF中DF2DG
4、2GF2,又可求出DEAB1,EFBC1,在DEF中DF2DE2EF2,DEF90即AB1C1B.法三:设ABa,ACb,c,ac,bac,(ac)(bac)aba2accbcac2|a|2a2|a|20.答案:B二、填空题6如图,PA平面ABC,ACB90,且PAACBCa,则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_答案:7如图,表示一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有_对解析:原来的正方体应为右图其中AB与CD、AB与GH、EF和GH三对异面直线答案:38在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别为A1B1、BB1的中点,则异面直线AM
5、与CN所成角的余弦值为_解析:如图,取AB的中点E,连B1E,则AMB1E,取EB的中点F连FN,则B1EFN,因此AMFN,连CF,则直线FN与CN所夹锐角或直角为异面直线AM与CN所成的角设AB1,在CFN中,CN,FN,CF.由余弦定理cosCNF.答案: 9在三棱锥PABC中,PA底面ABC,ACBC,PAACBC,则PC与AB所成角的大小为_解析:取PA、AC、CB的中点分别为E、F、G,连接EF、FG、GE.则EFG或其补角为PC与AB所成的角,设PA1,则EFPC,FGAB,EG2EA2AC2CG2,在EFG中,cosEFG,则EFG120PC与AB所成角的大小为60.答案:60
6、三、解答题10如图,在四棱锥PABCD中,PD平面ABCD,PDDCBC1,AB2,ABDC,BCD90.(1)求证:PCBC;(2)求点A到平面PBC的距离解析:(1)证明:PD平面ABCD,PDBC.又BCCD,BC平面PCD,PCBC.(2)设点A到平面PBC的距离为h,VAPBCVPABC,SPBChSABCPD即,h11,h.即点A到平面PBC的距离为.11在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别为BB1、CC1的中点,求AE、BF所成角的余弦值解析:如图,取DD1中点M,连结AM、MF、ME,由AB綊CD綊MF知四边形ABFM为平行四边形,AMBF,则AM与AE所夹锐角或直角
7、为异面直线AE,BF所成的角,设AB1,则在AEM中AEAM,ME.cosMAE,即异面直线AE、BF成角的余弦值为.12如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E是BC的中点,平面B1ED交A1D1于F.(1)指出F在A1D1上的位置,并说明理由;(2)求直线A1C与DE所成的角的余弦值解析:(1)F为A1D1的中点(如图)由正方体ABCDA1B1C1D1知面ABCD面A1B1C1D1,面B1EDF面ABCDDE,面B1EDF面A1B1C1D1B1F,B1FDE,同理B1EDF,四边形DEB1F为平行四边形,B1FDE,又A1B1CD,RtA1B1FRtCDE,A1FCEA1D1,F为A1D1的中点(2)过点C作CHDE交AD的延长线于H,连结A1H,则A1C与DE所成的角就等于A1C与CH所成的锐角,即A1CH(或其补角),由于正方体的棱长为1,E为BC中点,可求得A1C,CH,A1H.在A1CH中,由余弦定理得cosA1CH,直线A1C与DE所成角的余弦值为. - 5 -