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1、初中数学二次函数存在性问题总复习试题及解答.（10广东深圳)如图，抛物线y=ax2+c(a0)通过梯形AB的四个顶点，梯形的底D在x轴上，其中A(，0)，B(1， 3). ()求抛物线的解析式;（2）点M为轴上任意一点，当点到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标;(3)在第(2)问的结论下，抛物线上的点P使SAD4SA成立,求点的坐标.图2xyCB_D_AO答案：(1)、由于点A、B均在抛物线上,故点A、B的坐标适合抛物线方程 解之得:;故为所求（2)如图,连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点设B的解析式为，则有,故B的解析式为；令则，故(3)、如图，连接AM,BC交轴于点N
2、,由(2）知,OM=OA=OD=2,图3易知B=1，易求；设,依题意有:，即：解之得：，故 符合条件的点有三个:xyO11.（0北京)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y -+m2-3m+2 与x轴的交点分别为原点O和点A,点B（2，n）在这条抛物线上。 (1) 求点的坐标; ()点P在线段O上，从O点出发向点运动，过点作x轴的 垂线，与直线B交于点E。延长PE到点D。使得ED=PE。 以PD为斜边在P右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动 时，C点、D点也随之运动) j 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求 P的长； k 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒个单位，同步线
3、段O上另一 点Q从点出发向O点作匀速运动，速度为每秒个单位(当点达到点时停止 运动,P点也同步停止运动)。过Q点作x轴的垂线,与直线AB交于点F。延长F 到点，使得FM=F,以QM为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形QN（当 点运动时,点,点也随之运动）。若P点运动到t秒时,两个等腰直角三角形分 别有一条直角边正好落在同一条直线上,求此刻t的值。答案：解：（1) 拋物线y= -x2+2-3m+通过原点，m2-3m+2=0，解得m1=1，2=, 由题意知m1,=，拋物线的解析式为y=-x2+x,点B(2，)在拋物线 y= -2+x上,n=4，B点的坐标为(，4)。 OABCDEPyx图1(2)
4、j 设直线B的解析式为y=k1x，求得直线OB的解析式为 =,A点是拋物线与x轴的一种交点，可求得A点的 坐标为（1，0)，设P点的坐标为(a，0),则E点的坐标为 （a,2a)，根据题意作等腰直角三角形PCD,如图1。可求 得点C的坐标为(3a,2a),由C点在拋物线上，得 2a= -(3)2+3a，即a2-0,解得a=,a20 （舍去),P。 k依题意作等腰直角三角形MN,设直线AB的解析式为y=2+b,由点A(10,0), 点B（2,4),求得直线AB的解析式为= -x+，当P点运动到t秒时，两个等腰 直角三角形分别有一条边正好落在同一条直线上，有如下三种状况： 第一种状况:CD与NQ在
5、同一条直线上。如图所示。可证DPQ为等腰直角三 角形。此时OP、P、Q的长可依次表达为t、4、2t个单位。QDP=4， t+t+2t10,t。 第二种状况：与在同一条直线上。如图3所示。可证QM为等腰直角三 角形。此时O、AQ的长可依次表达为t、2个单位。OQ=10-2t,F点在 直线AB上,Q=t,Q=t，PQ=MQ=CQ=t,t+t+2=10，t=2。 第三种状况:点P、Q重叠时,PD、QM在同一条直线上，如图所示。此时P、 A的长可依次表达为、2t个单位。t+2t=10，t。综上，符合题意的图4yxBOQ(P)NCDMEF t值分别为,2，。xyOAM(C)B(E)DPQFN图3ExOA
6、BCyPMQNFD图2（10贵州遵义）如图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点C，与轴交于A、两点(点A在点B的右侧)，点P是该抛物线上一动点,从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重叠),过点作PD轴,交AC于点D.(1）求该抛物线的函数关系式;()当AP是直角三角形时,求点P的坐标；(3）在问题（2)的结论下,若点E在轴上，点F在抛物线上，问与否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标;若不存在，请阐明理由.答案:解：（1)抛物线的顶点为Q（2，1）设将C（,）代入上式,得， 即（2）分两种状况: 当点P1为直角顶点时，点P1与点重叠(如图） 令=0, 得解之得， 点A
7、在点B的右边, （1,)， A(3,0)1（,0)解：当点A为APD的直角顶点是(如图)O=OC， AOC=, OAD=当DAP2时， A2=, AO平分D2AP2又PD2轴, P2D2AO, P2、D有关轴对称.设直线AC的函数关系式为将A(3,0), (0，3)代入上式得, D2在上, P2在上,设2(，), (，)()()=0, , （舍)当=2时， =-1 P2的坐标为P(2,-1)（即为抛物线顶点）点坐标为P(1,), P2(2,-1) （3)解: 由题(）知,当点P的坐标为1(1,)时，不能构成平行四边形当点P的坐标为P(2,-1)(即顶点）时,平移直线AP(如图)交轴于点,交抛物
8、线于点F.当AP=FE时,四边形PFE是平行四边形P(2,-)， 可令F(,1）解之得:, F点有两点，即F1(,), F2(,1).（0湖北黄冈）已知抛物线顶点为C(1,1）且过原点O过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线,垂足为M，连M(如图)(1）求字母，b，c的值;(2)在直线x=1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时PFM为正三角形；()对抛物线上任意一点P,与否总存在一点N（1,），使PMPN恒成立，若存在祈求出t值，若不存在请阐明理由.答案：()=-1，b=2,c0(2)过P作直线=1的垂线,可求的纵坐标为，横坐标为.此时，P=F=F,故MPF为正三
9、角形（3)不存在.由于当，时，PM与PN不也许相等.（10辽宁丹东)如图,平面直角坐标系中有始终角梯形OMNH,点H的坐标为(-8,0），点N的坐标为(,4)（1）画出直角梯形OMNH绕点旋转10的图形OC，并写出顶点A,B，的坐标(点M的相应点为， 点N的相应点为,点H的相应点为C）；(）求出过，,C三点的抛物线的体现式;(3)截取EF=AG=m，且E,，分别在线段CO，A，上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范畴;面积S与否存在最小值?若存在，祈求出这个最小值;若不存在，请阐明理由; （4)在(3）的状况下，四边形BEFG与否存在邻边相等的状况，若存在,请
10、直接写出此时m的值,并指出相等的邻边;若不存在,阐明理由答案:(1) 运用中心对称性质,画出梯形ABC. ，C三点与M，,H分别有关点中心对称，（,4)，B（，4)，C(,0）(写错一种点的坐标扣1分)OMNHACEFDB8(6，4)xy(2）设过,B,C三点的抛物线关系式为,抛物线过点A(0，）, .则抛物线关系式为. 将B（6,）， (8,0)两点坐标代入关系式,得解得所求抛物线关系式为:(3)A=4，O=8,AF=m,OE8-. O(ABO)AAOEOCEOA (4） .当时，S的取最小值又0m，不存在m值，使S的获得最小值.(4)当时,G=,当时,E=BG.已知：函数y=a+x+的图象
11、与x轴只有一种公共点.(1）求这个函数关系式；(）如图所示,设二次函数y=x2+x+1图象的顶点为B,与y轴的交点为A，为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线A相切于点,求P点的坐标；(3）在(2）中，若圆与x轴另一交点有关直线PB的对称点为M,试摸索点M与否在抛物线y=ax2+x1上,若在抛物线上,求出M点的坐标；若不在，请阐明理由.AxyOB答案:解：(1)当 0时，y = x+1,图象与x轴只有一种公共点当a时，=-a=0，a=，此时，图象与x轴只有一种公共点.函数的解析式为:y=x+1或y=x2+x+1 （2)设P为二次函数图象上的一点,过点作PC 轴于点C.是二次函数，由(）知该函数关系式为：=x2+x+1,则顶点为B(-2，0），图象与y轴的交点坐标为A（0,1）以PB为直径的圆与直线AB相切于点B PBAB 则C=AO PCRtBO ，故PC2BC,设点的坐标为（x,y）,AB是锐角，PA是直角，PO是钝角,x-BC=-2x,C=-x,即y-4-2x, 点的坐标为(，-42x)点P在二次函数y=x+x+的图象上,4-2x=x2+x+1解之得:2,2=x-2 x=0，P点的坐标为:（-,1）（)点M不在抛物线上由(）知:C为圆与
