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1、第五章 线性微分方程组5.1 存在唯一性定理习题5.1 1给定方程组 ， （*）试验证，分别是方程组（*）的满足初始条件，的解；试验证是方程组（*）的满足初始条件的解，其中是任意常数证明 ，显然，所以，分别是方程组（*）的满足初始条件，的解，又，所以是方程组（*）的满足初始条件的解，其中是任意常数2将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题：，；，；， （提示：令）解 设，则，即与该初值问题等价的一阶方程组的初值问题为设，则，则得等价的一阶方程组的初值问题为，令，有 ，为与原初值问题等价的一阶方程组的初值问题3试用逐步逼近法求方程组， 满足初始条件的第三次近似解解 ，第三次近似解为 5
2、.2 线性微分方程组的一般理论习题5.2 1试验证是方程组，在任何不包含原点的区间上的基解矩阵证明 设，则由于，所以都是方程组的解，因而是所给方程组的解矩阵又由于在任何不包含原点的区间上，（），故是所给方程组的基解矩阵2考虑方程组， （5.15）其中是区间上的连续矩阵，它的元素为，如果是（5.15）的任意个解，那么它们的Wronsky行列式满足下面的一阶线性微分方程（提示：利用行列式的微分公式，求出的表达式）；解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式：，证明 ，所以是一阶线性微分方程的解由知，分离变量后两边积分求解得，时就得到，所以，3设为区间上的连续实矩阵，为方程的基解矩阵，而为其一解试证：
3、对于方程的任一解必有常数；为方程的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵，使证明 由于是方程的解，故有，为方程的解，故所以 ，所以常数“” 是方程的基解矩阵，因此，是方程的基解矩阵，故，且和所以 ，故是常数矩阵，设，则，因此存在非奇异常数矩阵，使“”若存在非奇异常数矩阵，使，则有，所以，即是非奇异矩阵或说的各列是线性无关的又，并注意到，有，即从而是方程的基解矩阵4设为方程（为常数矩阵）的标准基解矩阵（即），证明，其中为某一值证明 由于为常数矩阵，故在有定义、连续，从而它的解也在连续可导由为方程的基解矩阵，故，有，并且有，从而对某个，有，且，即亦为方程的基解矩阵由推论2*，存在一个非奇异常数矩
4、阵，使得在区间上，又因为，所以因此，其中为某一值5设分别为在区间上连续的矩阵和维列向量证明方程组存在且最多存在个线性无关解证明 设方程组的基解矩阵为，而是方程组的一个特解，则其通解为，其中是任意的常数列向量若不恒为0，则必与线性无关，从而，线性无关，即方程组存在个线性无关解又假若是方程组的任意一个解，则一定有确定的常数列向量，使得，将其加入，这一组向量就线性相关，故方程组的任何个解必线性相关从而方程组存在且最多存在个线性无关解6试证非齐线性微分方程组的叠加原理：设分别是方程组，的解，则是方程组的解证明 因为分别是方程组，的解，故，所以有 ，所以是方程组的解7考虑方程组，其中，试验证是的基解矩阵
5、；试求的满足初始条件的解证明 ，成立而，所以是的基解矩阵，这样，由定理8，方程组满足初始条件的解就是 ，对应的齐线性方程组满足初始条件的解就是，所以，所求方程组的满足初始条件的解为8试求，其中，满足初始条件的解解 由上题知，且这里 ，所以，所求方程组的满足初始条件的解为9试求下列方程的通解：，；解 易知对应的齐线性方程的基本解组为，用公式（5.31）来求方程的一个解这时，取，有 所以方程的通解为 由于特征方程的根是，故对应的齐线性方程的基本解组为，原方程的一个特解由公式（5.29）有（取），其中 ， ， ， 所以 ，故通解特征方程，得到特征根，故对应的齐线性方程的基本解组为，取，由（5.31）
6、，得特解 ，所以得到通解10给定方程，其中在上连续，试利用常数变易公式，证明：若在上有界，则上面方程的每一个解在上有界；若当时，则上面方程的每一个解，满足（当时）证明 对应的特征方程有特征根，故对应的齐线性方程的基本解组，由公式（5.31）得原方程的一个特解（）为 ，所以方程的任一解可写为由于在上有界，故，有又由于，从而当时， ，即方程的每一个解在上有界当时，故由知，若有界，则，若无界，由于在连续，故为无穷大量，因此，即总有同理从而对方程的每一个解，有11给定方程组，这里是区间上的连续矩阵设是它的一个基解矩阵，维向量函数在上连续，试证明初值问题： （*）的唯一解是积分方程组 （*）的连续解反之
7、，（*）的连续解也是初值问题（*）的解证明 是初值问题（*）的解，故，这说明是的向量函数，于是由公式（5.27）得，即是积分方程组（*）的连续解反之，设是积分方程组（*）的连续解，则有，两端对求导，就有 ，即也是初值问题（*）的解 5.3 常系数线性微分方程组习题5.3 1假设是矩阵，试证：对任意的常数都有；对任意整数，都有（当是负整数时，规定证明 因为 ，所以矩阵与可交换，故先证明，有，这只须对施以数学归纳法当时，成立，设当时，则当时，有，故对一切自然数，若是负整数，则，注意到，并由以上证明应用于矩阵，就有，由，对一切整数，均有2试证：如果是满足初始条件的解，那么证明 由于 ，又，故是方程组
8、满足初始条件的解由解的唯一性，命题得证3试计算下列矩阵的特征值及对应的特征向量； ； ； 解 特征方程，特征值，对应于特征值的特征向量必须满足方程组，得到，是对应于特征值的特征向量类似地可求得对应于特征值的特征向量为，其中的任意常数特征方程，特征值，对应于特征值的特征向量必须满足方程组，得到，是对应于特征值的特征向量类似地，可以求出对应于特征值以及的特征向量分别为 （的任意常数）和 （的任意常数）特征方程，特征值，对应于特征值的特征向量必须满足方程组，得，是对应于特征值的特征向量类似地，可以求出对应于特征值的特征向量为 （的任意常数）特征方程， 特征值，由，推出，是对应于特征值的特征向量同样可
9、求得对应于特征值和的特征向量分别为（的任意常数）和（的任意常数）4试求方程组的一个基解矩阵，并计算，其中为：； ； ； 解 特征方程，得是特征值对应的特征向量分别为，为任意常数所以方程组的一个基解矩阵为 由第3题立即得到方程组的一个基解矩阵为 由第3题立即得到方程组的一个基解矩阵为 特征方程，特征值为，对应的特征向量分别为，均为不等于零的任意常数故方程组的一个基解矩阵为由立即可得，其中列向量函数，（该题计算量太大，作为该法的习题不是太好！）5试求方程组的一个基解矩阵，并求满足初始条件的解：，；，；，解 由上题知，所以所求解为由上题知，其中所以所求解为由第3题知，矩阵的特征值为，对应于特征值的特
10、征向量 （的任意常数）又由，得到 （是任意常数），由解出依公式（5.52），得满足初始条件的解为 6试求方程组的解：，；，；，解 由第4题知，由公式（5.61）得 由第3题知的特征值，对应的特征向量分别为，其中均是不为零的任意常数的一个基解矩阵为，而由公式（5.61）得 的特征方程，求解得特征值，对应的特征向量分别是，其中是不为零的任意常数所以方程组的一个基解矩阵为，从而，由公式（5.61）得7假设不是矩阵的特征值，试证非齐线性方程组有一解形如，其中是常数向量证明 设方程组有形如的解，代入方程得，由此得，即因为不是矩阵的特征值，故，即矩阵可逆，得到唯一确定所以方程组有一解8给定方程组 试证上面
11、方程组等价于方程组，其中，；试求中的方程组的基解矩阵；试求原方程组满足初始条件，的解解 设，则原方程组化为或，即或反之，设，则方程组化为即 由，得矩阵的特征值，对应的特征向量分别为，其中均为不等于零的任意常数由此得的一个基解矩阵求与之等价的方程组，满足初始条件的解 ，所以，原方程组满足初始条件，的解为9试用Laplace变换法解第5题和第6题解 5方程组两边取Laplace变换，有，即，由具体数值代入得方程组，根据Gramer法则得，所以，故初值问题5的解为5对方程组两边施行Laplace变换，并化简有，用具体数值代入得方程组，根据Gramer法则得，所以，故初值问题5的解为5对方程组两边施行
12、Laplace变换，并化简有，用具体数值代入得方程组，根据Gramer法则得，所以，故初值问题5的解为6对方程组两边施行Laplace变换，得，即具体数据代入得，所以，故有，因而初值问题6的解为6对方程组两边施行Laplace变换，并化简有，代入具体数值有，解得 ， ， ，所以得， ， 因而初值问题6的解为6对方程组两边施行Laplace变换，并化简有，代入具体数值有，解得，所以，故初值问题6的解为10求下列初值问题的解： ，； ，； ，解 对方程组的每一个方程两边施行Laplace变换，得，解出，得到，所以初值问题的解为对方程组的每一个方程两边施行Laplace变换，得解得，所以，所以初值问题的解为对方程组的每一个方程两边施行Laplace变换，得解得
