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1、第三章 一阶微分方程的解的存在定理研究对象dydxf (x, y)(3.1)(3.2)初值问题 (Cauchy Problem)y(x0 ) y01 基本概念1)利普希兹 (Lipschitz) 条件函数 f(x,y)称为在闭矩形区域 D: x x0 a, y y0 b上关于 y满足利普希兹条件，如果存在常数 L 0 使得不等式f (x,y1) f(x,y2) L y1 y2对所有 (x,y1),(x,y2) D 都成立。其中 L称为利普希兹常数。2 )局部利普希兹条件称函数 f(x, y)在区域 G R2内关于 y满足局部利普希兹条件， 如果对区域 G内的每 一点，存在以其为中心的完全含于
2、G内的矩形域 D，在 D上 f(x,y)关于 y满足利普希兹 条件。注意：对 G内不同的点，矩形域 D大小和常数 L可能不同。3) 一致利普希兹条件称函数 f (x,y, ) 在区域 G (x,y,)(x,y) G, R2 R内一致地关于 y 满足局部利普希兹条件，如果对G 内的每一点 (x,y, ) 都存在以 (x,y, ) 为中心的球S 成立不等式G，使得对任何 (x,y1, )， (x,y2,)f (x,y1, ) f(x,y2, ) L y1 y2 其中 L 是与 无关的正数。4) 解的延拓设方程(3.1) 右端函数 f(x,y)在某一有界区域 G中有意义， y (x),x a,b是初
3、值问题(3.1) 、 (3.2) 的解，若 y (x),x a1,b1 也是初值问题的解，且 a,b a1,b1，当 x a,b时， (x) (x) ，则称解 (x) 是解 (x) 在区间 a,b 上的一个延拓。5) 包络和奇解曲线族的包络 是指这样的曲线， 它本身并不包含在曲线族中， 但过这条曲线上的每一点， 有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。奇解 在有些微分方程中， 存在一条特殊的积分曲线， 它并不属于这个方程的积分曲线 族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处， 都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切， 这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。注意：1)奇解上每一点都有方程的另一解
4、存在。2 )通解中不一定包含方程的所有解，例如奇解。3)一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平行线族等都是没有包络的。2 基本定理在闭矩形域1)存在性与延拓性定理定理 3.1 (皮卡 (Picard )解的存在唯一性定理) 如果 函数 f (x,y)D: x x0a, y y0上连续且关于 y 满足利普希兹条件， 则方程 (3.1) 存在唯一的连续解 y(x) ，定义在区间x x0h 上, 且满足初始条件 y(x0) y0 ， 这里 h min( a, b ),M M(mx,ya)xDf (x,y) 。证明分五个步骤完成。步骤求解微分方程的初值问题等价于求解一个积分方程；步骤构造一个连续的
5、逐步逼近序列；步骤证明此逐步逼近序列一致收敛；步骤证明此收敛的极限函数为所求初值问题的解；步骤证明唯一性。注意： 定理3.1 中的条件是解存在唯一的充分条件而非必要条件。定理3.2 (皮亚诺 (Peano )解的存在性定理)(x0,y0) G ，则如果微分方程 (3.1) 的右端函数 f (x, y)在某区域 G 内连续，任给点满足初始条件 y(x0 ) y0的解在含 x0的某区间上存在。定理 3.3 对于隐式方程 F(x,y,y ) 0 ，如果在点 (x0, y0, y0)的某一邻域中，a) F(x,y,y ) 对所有的变元 (x,y,y )连续，且存在连续的偏导数；b) F(x0,y0,
6、y0) 0；F(x0, y0, y0)c) 0 。y则方程 F(x, y, y) 0存在唯一的解 y y(x)， x x0 h ( h为足够小的正数)且满足 条件 y(x0) y0,y (x0) y0 。定理3.4 如果方程 (3.1) 右端的函数 f (x, y)在有界区域 G中连续，且在 G内满足局 部利普希兹条件， 那么方程 (3.1) 通过 G 内任何一点 (x0, y0) 的解 y ( x)可以延拓。 直到 点(x, ( x)任意接近区域 G 的边界。以向 x增大一方的延拓来说，如果 y (x)只能延拓 到区间 x0 x m 上，则当 x m时， (x, (x) 趋近于区域 G 的边
7、界。推论 如果G是无界区域，在解的延拓定理的条件下, 则方程 (3.1) 的通过点 (x0,y0)的解 y (x)可以延拓，以向 x 增大一方的延拓来说，有下面的两种情况 :a) 解 y (x)可以延拓到区间 x0, ) ，b) 解 y(x)可以延拓到区间 x0,m) ，其中 m 为有限数，当 x m时， y( x)或者无界，或者 (x, ( x)趋于区域 G 的边界。定理 3.5 第一比较定理若函数 f(x, y),F(x,y)都在平面区域G 上连续，且有不等式f(x,y) F(x,y),(x, y) G成立，则方程 dydxf (x, y)满足初始条件 y(x0) y0的解 (x) 和方程
8、 dy F(x,y) 满 dx足初始条件 y(x0 )y0的解 (x) 在它们共同存在的区间上，满足不等式：(x) (x),当 x x0时，(x) (x), 当 x x0 时。2)解对初值的连续性与可微性定理定理3.6 假设函数 f(x,y)于区域 G内连续且关于 y满足局部利普希兹条件，(x0, y0)G ，y (x,x0,y0) 是初值问题dydxf (x,y) 的解，它于区间 a x b 有定y(x0)y0义，其中a x0 b ，那么，对任意给定的0，必存在正数( ,a,b) ， 使得当(x0 x02 22)2 (y0 y0)22 时，初值问题dydxf(x,y)的解y (x,x0, y
9、0) 在区间y(x0)y0axb也有定义，并且(x,x0,y0) (x, x0 , y0)，a x b 。定理3.7 假设函数 f(x,y)于区域 G内连续且关于 y满足局部利普希兹条件， 则初值问 dy f (x,y)题 dx 的解 y (x,x0,y0) 作为 x, x0 , y0的函数在它的存在范围内是连续的。y(x0 ) y0定理 3.8 对于方程dy f(x,y,)( E )dx用 G表示区域 G (x,y,)(x,y) G, 。假设函数 f(x,y, )于区域 G 内连续，且在 G 内关于 y一致地满足局部利普希兹条 件， (x0,y0,0) G,y (x,x0,y0,0) 是方程
10、 E0 通过点 (x0,y0) 的解，在区间 a x b有定义，其中 a x0 b，那么，对任意给定的0，必存在正数( ,a,b) ，使得当2 2 22(x0x0)2(y0y0)2( 0)22时，方程 E 满足条件 y(x0) y0的解 y (x,x0,y0, ) 在区间 a x b也有定义，并且(x,x0,y0, ) (x,x0,y0, 0)， a x b。定理3.9 假设函数 f(x,y, )于区域 G 内连续，且在 G 内关于 y一致地满足局部利普希兹条件，则方程 E 的解 y (x,x0,y0, )作为 x,x0, y0, 的函数在它的存在范围内dyf(x, y)dx 的y(x0) y
11、0是连续的。定理3.10 若函数 f (x,y)以及 f 都在区域 G内连续，则 初值问题y解 y(x,x0,y0) 作为 x,x0,y0 的函数在它的存在范围内是连续可微的。3 基本计算1) 近似计算和误差估计第 n 次近似解的计算公式0 (x) y0xn(x) y0 x f( , n 1( )d ,x0 x x0 h x0第 n 次近似解的误差公式MLn n 1n (x) (x) h 。(n 1)!2)求奇解(包络线)的方法a) 自然法找出方程不满足唯一性条件的点集合 L，例如 L ( x,y) f ，再验证它是否是 y奇解或是否包含有奇解。b) C - 判别曲线法结论 1 通积分作为曲线族的包络线(奇解)包含在下列方程组(x,y,C) 0C (x,y,C) 0消去 C而得到的曲线 (x,y) 0中，有的因式可能是奇解。c) P - 判别曲线法结论2 方程 F(x,y,y ) 0的奇解包含在下列方程组F(x,y, p) 0Fp(x,y, p) 0 消去 p而得到的曲线 (x, y) 0中。注意： 以上方法都需要验证所得曲线是否真是奇解。
