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1、向量 数列的综合（测试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 在中，若点满足，则（ ）A B C D【答案】D【解析】考点：平面向量的应用2. 在等差数列中，则的值为（ ）A6 B12 C24 D48【答案】D【解析】试题分析：考点：等差数列性质及通项公式3. 已知为等比数列,则（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：由题意，得，解得或，所以，故选D考点：等比数列的通项公式4. 已知数列中，则数列通项公式为 （ ）A B C D【答案】C【解析】考点：数列递推公式求通项公式5. 【2018安徽蒙城五校联考】已知非零向量满足，且在方向上的投影与
2、在方向上的投影相等，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 因为在方向上的投影与在方向上的投影相等， 设这两个向量的夹角为，则， 又由且，所以，故选B.6.【2018湖南浏阳五校联考】已知圆心为，半径为1的圆上有不同的三个点，其中，存在实数满足，则实数的关系为A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得，且.因为，即.平方得：.故选A.7. 已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为 （ ）A B C D【答案】A【解析】考点：裂项法求数列的和8. 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的（ ）A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心【
3、答案】A【解析】试题分析：由正弦定理得，所以，而，所以表示与共线的向量，而点是的中点，即的轨迹一定是通过三角形的重心，故选A.考点：平面向量.【思路点晴】本题主要考查向量的加法和减法的几何意义，考查了解三角形正弦定理，考查了三角形四心等知识.在几何图形中应用平面向量加法和减法，往往要借助几何图形的特征，灵活应用三角形法则和平行四边形.当涉及到向量或点的坐标问题时，应用向量共线的充要条件解题较为方便.三角形的四心是：内心、外心、重心和垂心.9. 若数列满足，且，则数列的前项中，能被整除的项数为（ ）A B C. D【答案】B【解析】考点：数列递推式.10. 【2018全国名校联考】设向量满足，
4、， ，则的最大值等于（ ）A. 4 B. 2 C. D. 1【答案】A【解析】因为， ，所以,.如图所以，设，则,.所以，所以，所以四点共圆.不妨设为圆M，因为,所以.所以,由正弦定理可得的外接圆即圆M的直径为.所以当为圆M的直径时， 取得最大值4.故选A.点睛:平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决11. 已知数列:, ,若，那么数列的
5、前项和为（ ）A B C. D【答案】B【解析】考点：数列的求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到等差数列的前项和公式、数列的裂项求和的方法的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据等差数列的求和公式得到，进而得到的通项公式是解答的关键.12. 数列满足,则的前44项和为（ ）A990 B870 C640 D615【答案】A【解析】试题分析：当为奇数时，为偶数，此时，两式相减得，所以前44项中奇数项的和；当为偶数时，为奇数，此时，两式相加得，所以前44项中奇数项的和，所以此数列前44项和为，故选A考
6、点：1、数列求和；2、等差数列的前项和二填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知向量，若，则 【答案】【解析】考点：1、向量平行的充要条件；2、平面向量的模14. 【2018四川成都七中一模】已知递减等差数列中， 为等比中项，若为数列的前项和，则的值为_【答案】14【解析】设递减等差数列的公差为成等比数列， ， ，又，联立解得， ，故答案为.15. 已知两个等差数列 和的前项和分别为，若，则_.【答案】【解析】试题分析：根据等差数列的性质，由.考点：等差数列的性质.16. 已知点为内一点，且，则，的面积之比等于 【答案】3:2:1【解析】COBA考点：向量表示三、解答题(本大题共6
7、小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. 在中，已知点为线段上的一点，且（1）试用表示；（2）若，且，求的值【答案】（1）（2）【解析】试题解析：（1）因为点在上，且，所以，所以 （2） 考点：1向量运算的三角形法则；2向量的数量积运算18. 【2018广西柳州联考】设， ，数列满足： 且.求证：数列是等比数列；求数列的通项公式.【答案】()证明见解析；() .【解析】试题分析：（1）a1=2，a2=4，且an+1an=bn；可得b1=a2a1=42=2由bn+1=2bn+2，变形为：bn+1=2=2（bn+2），即可证明（2）由（1）可得：bn+2=42n1，可得
8、bn=2n+12an+1an=bn=2n+12利用an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1即可证明由可得，故.，.累加得： ，即.而，.点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误,求通项公式时可考虑累差累积法的应用19. 已知.（1）求的单调增区间；（2）在中，为锐角且，求.【答案】（1），.（2）【解析】试题解析：（1） 由题可知，令，即函数的单调递增区间为，. （6分）（2） 由，所以，解得或（舍
9、）又因为,则为的重心，以为邻边作平行四边形，因为，所以，在中，,由正弦定理可得，解得且因此. （12分）考点：三角函数的化简以及恒等变换公式，正弦定理【思路点睛】 三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等20. 已知正项数列的前项和为，且是与的等差中项.（）求数列的通项公式；（）设为数列的前项和，证明：.【答案】（I）；（II）证
10、明见解析.【解析】试题解析：（I）时， 时，又，两式相减得为是以1为首项，2为公差的等差数列，即. （II）， 又，综上成立.考点：递推公式求通项和裂项法求和.21. 设数列的前项和为，已知（1）求的值，并求数列的通项公式；（2）若数列为等差数列，且，设，数列的前项和为，证明：对任意，是一个与无关的常数【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用向量的数量积公式建立方程求解；（2）借助题设运用向量的数量积公式建立方程求解.试题解析：（1）当时，即，所以，因为，则（），两式相减，得，即（）所以数列是首相为3，公比为3的等比数列，故（2）因为，则，又，则，设的公差为，则，所以，所以，由题设，则，所以，故为常数 考点：等差数列等比数列及错位相减法求和等有关知识的综合运用.22. 设数列的各项均为正数，它的前项的和为，点在函数的图像上；数列满足其中（1）求数列和的通项公式； （2）设，求证：数列的前项的和（）【答案】（1），；（2）证明见解析【解析】试题解析：（1）由已知条件得， 当时， 得：，即，数列的各项均为正数，（），又，；，；（2），两式相减得，考点：等差数列与等比数列的通项公式，错位相减法
